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数理統計の問題

難易度 1教科書の例題レベル大学数学数理統計

$n$ を正の整数とし、 $X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n}$ は互いに独立に、確率密度関数
$f (x ∣ λ) = λ e^{- λ x} (x > 0)$
（ $x \leq 0$ では $f (x ∣ λ) = 0$ ）の指数分布に従う確率変数とする。ここで $λ > 0$ は未知の母数である。この分布の期待値は $E (X_{i}) = \frac{1}{λ}$ 、分散は $V (X_{i}) = \frac{1}{λ ^{2}}$ である。

$g (λ) = \frac{1}{λ}$ の推定量として、重みをつけた平均
$T = \frac{2}{n ( n + 1 )} k = 1 \sum n k X_{k}$
を考える。 $T$ は $g (λ)$ の不偏推定量である。 $g (λ)$ の不偏推定量の分散に対するクラメール・ラオの下限を $L (λ)$ とするとき、 $T$ の効率 $\frac{L ( λ )}{V ( T )}$ を $n$ の式で求めよ。

この問題で使うもの

母数の関数の推定とクラメール・ラオの下限・効率（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（71 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

フィッシャー情報量 $I (λ)$ を求め、母数の関数 $g (λ) = 1/ λ$ に対するクラメール・ラオの下限 $\frac{{ g ^{'} ( λ ) } ^{2}}{n I ( λ )}$ を計算し、 $V (T)$ と比べます。

ヒント 2

$\frac{\partial ^{2}}{\partial λ ^{2}} lo g f = - \frac{1}{λ ^{2}}$ です。また独立性から $V (T) = \frac{4}{n ^{2} ( n + 1 ) ^{2}} \sum_{k = 1}^{n} k^{2} V (X_{k})$ で、 $\sum_{k = 1}^{n} k^{2} = \frac{n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 )}{6}$ を使います。

ヒント 3

$I (λ) = \frac{1}{λ ^{2}}$ より $L (λ) = \frac{1}{n λ ^{2}}$ 、また $V (T) = \frac{2 ( 2 n + 1 )}{3 n ( n + 1 ) λ ^{2}}$ となります。あとは比をとるだけです。

答えと解説

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\frac{3 ( n + 1 )}{2 ( 2 n + 1 )}

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解説を読む

手順 1：フィッシャー情報量を求める。

$lo g f (x ∣ λ) = lo g λ - λ x$ なので
$\frac{\partial}{\partial λ} lo g f = \frac{1}{λ} - x, \frac{\partial ^{2}}{\partial λ ^{2}} lo g f = - \frac{1}{λ ^{2}} .$
よって 1 個あたりのフィッシャー情報量は
$I (λ) = - E [\frac{\partial ^{2}}{\partial λ ^{2}} lo g f (X ∣ λ)] = \frac{1}{λ ^{2}} .$

手順 2： $g (λ)$ に対するクラメール・ラオの下限を求める。

$g (λ) = \frac{1}{λ}$ より $g^{'} (λ) = - \frac{1}{λ ^{2}}$ 、 ${g^{'} (λ)}^{2} = \frac{1}{λ ^{4}}$ 。したがって
$L (λ) = \frac{{ g ^{'} ( λ ) } ^{2}}{n I ( λ )} = \frac{1/ λ ^{4}}{n / λ ^{2}} = \frac{1}{n λ ^{2}} .$

手順 3： $V (T)$ を求める。

（念のため不偏性： $E (T) = \frac{2}{n ( n + 1 )} \sum_{k = 1}^{n} k \cdot \frac{1}{λ} = \frac{2}{n ( n + 1 )} \cdot \frac{n ( n + 1 )}{2} \cdot \frac{1}{λ} = \frac{1}{λ}$ 。）

$X_{k}$ は互いに独立なので $V (\sum k X_{k}) = \sum k^{2} V (X_{k})$ であり、
$V (T) = \frac{4}{n ^{2} ( n + 1 ) ^{2}} k = 1 \sum n k^{2} \cdot \frac{1}{λ ^{2}} = \frac{4}{n ^{2} ( n + 1 ) ^{2}} \cdot \frac{n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 )}{6} \cdot \frac{1}{λ ^{2}} = \frac{2 ( 2 n + 1 )}{3 n ( n + 1 ) λ ^{2}} .$

手順 4：効率を計算する。
$\frac{L ( λ )}{V ( T )} = \frac{\frac{1}{n λ ^{2}}}{\frac{2 ( 2 n + 1 )}{3 n ( n + 1 ) λ ^{2}}} = \frac{3 ( n + 1 )}{2 ( 2 n + 1 )} .$

（ $n = 1$ のとき $1$ となり、 $n \to \infty$ では $\frac{3}{4}$ に近づく。 $λ$ によらないことにも注意。）

答え： $\frac{3 ( n + 1 )}{2 ( 2 n + 1 )}$

別解

指数分布の 1 観測あたりのフィッシャー情報量を求める。 $lo g f = lo g λ - λ x$ より $\partial_{λ} lo g f = \frac{1}{λ} - x$ であり、 $I_{1} (λ) = V (X) = \frac{1}{λ ^{2}}$ である。したがって $n$ 個の標本では $I_{n} (λ) = \frac{n}{λ ^{2}}$ となる。

$g (λ) = 1/ λ$ より $g^{'} (λ) = - 1/ λ^{2}$ である。よってクラメール・ラオの下限は
$L (λ) = \frac{g ^{'} ( λ ) ^{2}}{I _{n} ( λ )} = \frac{1/ λ ^{4}}{n / λ ^{2}} = \frac{1}{n λ ^{2}} .$

$T$ の分散は、独立性と $\sum_{k = 1}^{n} k^{2} = \frac{n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 )}{6}$ より
$V (T) = \frac{4}{n ^{2} ( n + 1 ) ^{2}} k = 1 \sum n k^{2} \cdot \frac{1}{λ ^{2}} = \frac{4}{n ^{2} ( n + 1 ) ^{2}} \cdot \frac{n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 )}{6 λ ^{2}} = \frac{2 ( 2 n + 1 )}{3 n ( n + 1 ) λ ^{2}} .$

効率は
$\frac{L}{V ( T )} = \frac{1}{n λ ^{2}} \cdot \frac{3 n ( n + 1 ) λ ^{2}}{2 ( 2 n + 1 )} = \frac{3 ( n + 1 )}{2 ( 2 n + 1 )} .$

検算： $n = 1$ のとき $T = X_{1}$ で、効率は $\frac{6}{6} = 1$ となり、 $X ˉ$ と一致して整合する。 $n \to \infty$ では $3/4$ に近づく。

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