確率・統計の問題

方針　特性関数は $E(e^{itX})$ なので、連続型確率変数では $e^{itx}$ に確率密度関数を掛けて積分します。

手順 1：定義どおりに積分の形に書く
$$\phi (t)=E\left(e^{itX}\right)={\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{itx}f(x)dx={\int }_0^{\infty }{e}^{itx}\cdot 3e^{-3x}dx=3{\int }_0^{\infty }{e}^{-(3-it)x}dx$$

手順 2：原始関数を求める
$c=3-it$（$c\ne 0$ の複素数の定数）とおきます。オイラーの公式 $e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta$ を使って実部と虚部に分けて微分すると、$c$ が複素数でも $\frac{d}{dx}{e}^{-cx}=-c{e}^{-cx}$ が成り立つことが確かめられます。よって $e^{-cx}$ の原始関数の一つは $-\frac{1}{c}{e}^{-cx}$ です。

手順 3：広義積分として計算する
$$3{\int }_0^R{e}^{-cx}dx=3{\left[-\frac{1}{c}{e}^{-cx}\right]}_0^R=\frac{3}{c}\left(1-e^{-cR}\right)$$
ここで $e^{-cR}=e^{-3R}{e}^{itR}$ であり、$|e^{itR}|=\sqrt{{\cos }^{2}tR+{\sin }^{2}tR}=1$ なので
$$|e^{-cR}|=e^{-3R}\to 0(R\to \infty )$$
したがって $e^{-cR}\to 0$ となり、
$$\phi (t)=\underset{R\to \infty }{\lim }\frac{3}{c}\left(1-e^{-cR}\right)=\frac{3}{c}=\frac{3}{3-it}$$

確認　$t=0$ を代入すると $\phi (0)=1$ となり、特性関数の性質 $\phi (0)=E(1)=1$ と合っています。なお、分母を実数化すると $\phi (t)=\frac{9+3it}{9+t^2}$ とも書けます。

答え：$\phi (t)=\frac{3}{3-it}$

$\phi (t)={\int }_0^{\infty }{e}^{itx}\cdot 3e^{-3x}dx=3{\int }_0^{\infty }{e}^{-(3-it)x}dx$。$\mathrm{Re}(3-it)=3>0$ なので、$x\to \infty$ で $|e^{-(3-it)x}|=e^{-3x}\to 0$ となり積分は収束する。したがって $\phi (t)=3\cdot \frac{1}{3-it}=\frac{3}{3-it}$。検算: $t=0$ で $\phi (0)=1$ となり確率の総和に一致する。また ${\phi }^{\prime }(0)=\frac{3\cdot i}{(3-it{)}^2}{|}_{t=0}=\frac{i}{3}$ より $E(X)={\phi }^{\prime }(0)/i=\frac{1}{3}$ で、指数分布（母数 3）の平均 $1/3$ に一致する。