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確率・統計の問題

難易度 1教科書の例題レベル大学数学確率・統計

連続型確率変数 $X$ の確率密度関数が
$f_{X} (x) = {e^{- x} 0 (x ≧ 0) (x < 0)$
で与えられている。 $Y = X$ とおくとき、 $y > 0$ における $Y$ の確率密度関数 $f_{Y} (y)$ を $y$ の式で求めよ。

この問題で使うもの

確率変数の変換（説明と入口の問題）
連続型確率変数と確率密度関数（説明と入口の問題）
合成関数の微分（説明と入口の問題）
指数関数・対数関数の導関数（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（65 技能）

算数中学高校大学大学院

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右端（太枠）がこの問題で使う技能です。左へドラッグすると、さらに前の前提をさかのぼれます。技能を押すと、そこまでの道筋が光ります。

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ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

確率変数の変換の技能のうち、「累積分布関数を求めてから微分する」方法を使います。まず $F_{Y} (y) = P (Y ≦ y)$ を考えましょう。

ヒント 2

$y > 0$ のとき、 $X ≦ y$ は $X ≦ y^{2}$ と同じ事象です。したがって $F_{Y} (y) = P (X ≦ y^{2}) = \int_{0}^{y^{2}} e^{- x} d x$ です。

ヒント 3

積分すると $F_{Y} (y) = 1 - e^{- y^{2}}$ となります。あとはこれを $y$ で微分します（合成関数の微分を使います）。

答えと解説

答えを見る

2 y e^{- y^{2}}

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解説を読む

累積分布関数を求めてから微分する方法（累積分布関数の方法）で求める。

手順 1： $Y$ の累積分布関数を $X$ の確率で表す。
$y > 0$ とする。 $X ≧ 0$ で $x$ は増加関数なので、 $X ≦ y$ と $X ≦ y^{2}$ は同じ事象である。よって
$F_{Y} (y) = P (Y ≦ y) = P (X ≦ y) = P (X ≦ y^{2}) .$

手順 2： $X$ の密度を積分して計算する。
$P (X ≦ y^{2}) = \int_{0}^{y^{2}} e^{- x} d x = [- e^{- x}]_{0}^{y^{2}} = 1 - e^{- y^{2}} .$
したがって $y > 0$ で $F_{Y} (y) = 1 - e^{- y^{2}}$ である。

手順 3： $y$ で微分して密度を得る。
合成関数の微分より $(e^{- y^{2}})^{'} = e^{- y^{2}} \cdot (- 2 y)$ なので
$f_{Y} (y) = F_{Y}^{'} (y) = - (- 2 y e^{- y^{2}}) = 2 y e^{- y^{2}} .$

（確認： $\int_{0}^{\infty} 2 y e^{- y^{2}} d y = [- e^{- y^{2}}]_{0}^{\infty} = 1$ となり、確率密度関数になっている。）

よって $f_{Y} (y) = 2 y e^{- y^{2}} (y > 0)$ である。

別解

$Y = X$ より、 $y > 0$ のとき $P (Y ≦ y) = P (X ≦ y^{2})$ である。 $X$ は指数分布に従うので、分布関数は $F_{Y} (y) = \int_{0}^{y^{2}} e^{- x} d x = 1 - e^{- y^{2}}$ となる。これを $y$ で微分して $f_{Y} (y) = 2 y e^{- y^{2}}$ を得る。

検算： $\int_{0}^{\infty} 2 y e^{- y^{2}} d y = [- e^{- y^{2}}]_{0}^{\infty} = 1$ となり、全確率が 1 で整合する。変数変換でも確認できる。 $x = y^{2}$ 、 $d x / d y = 2 y$ より $f_{Y} (y) = f_{X} (y^{2}) \cdot 2 y = 2 y e^{- y^{2}}$ となり一致する。

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