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確率論の問題

難易度 1大学院の講義の例題レベル大学院数学確率論

袋の中に、はじめ赤玉 $2$ 個と白玉 $3$ 個が入っている。次の操作をくり返す。

「袋から玉を $1$ 個無作為に取り出し、その色を確認して袋に戻し、さらに取り出した玉と同じ色の玉を $2$ 個袋に加える。」

$n$ 回の操作を終えた時点（ $n = 0, 1, 2, \dots$ ）で袋の中にある赤玉の個数を $R_{n}$ とし（ $R_{0} = 2$ ）、 $F_{n} = σ (R_{0}, R_{1}, \dots, R_{n})$ とする。 $β$ を正の実数の定数として
$M_{n} = \frac{R _{n}}{n + β} (n = 0, 1, 2, \dots)$
と定める。 $(M_{n})_{n \geq 0}$ がフィルトレーション $(F_{n})_{n \geq 0}$ に関するマルチンゲールとなるような $β$ の値を求めよ。

この問題で使うもの

マルチンゲール（説明と入口の問題）
σ 加法族に関する条件付き期待値（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（70 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

マルチンゲールの定義 $E [M_{n + 1} ∣ F_{n}] = M_{n}$ を確かめる技能を使う。まず $E [R_{n + 1} ∣ F_{n}]$ を $R_{n}$ で表そう。

ヒント 2

$n$ 回後の玉の総数は $2 n + 5$ で、次に赤玉を引く条件付き確率は $\frac{R _{n}}{2 n + 5}$ 。赤玉を引けば $R_{n}$ は $2$ 増える。

ヒント 3

$E [R_{n + 1} ∣ F_{n}] = \frac{2 n + 7}{2 n + 5} R_{n}$ となるので、 $\frac{2 n + 7}{( 2 n + 5 ) ( n + 1 + β )} = \frac{1}{n + β}$ がすべての $n \geq 0$ で成り立つ $β$ を求めればよい。

答えと解説

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\frac{5}{2}

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解説を読む

方針. $M_{n}$ がマルチンゲールであるとは、各 $n$ で $M_{n}$ が $F_{n}$ -可測かつ可積分で、 $E [M_{n + 1} ∣ F_{n}] = M_{n}$ が成り立つことである。可測性と可積分性を確かめたうえで、条件付き期待値を計算して $β$ を決める。

ステップ 1（可測性・可積分性）. 1 回の操作で玉は $2$ 個増えるので、 $n$ 回後の玉の総数は $5 + 2 n$ である。 $M_{n}$ は $R_{n}$ の関数なので $F_{n}$ -可測であり、 $0 \leq R_{n} \leq 5 + 2 n$ より $M_{n}$ は有界、したがって可積分である。

ステップ 2（条件付き期待値の計算）. $F_{n}$ のもとで（ $R_{n}$ を知ったうえで）、 $n + 1$ 回目に赤玉を取り出す確率は $\frac{R _{n}}{2 n + 5}$ である。赤玉を取り出せば $R_{n + 1} = R_{n} + 2$ 、白玉なら $R_{n + 1} = R_{n}$ なので
$E [R_{n + 1} ∣ F_{n}] = R_{n} + 2 \cdot \frac{R _{n}}{2 n + 5} = \frac{2 n + 7}{2 n + 5} R_{n} .$
よって
$E [M_{n + 1} ∣ F_{n}] = \frac{1}{n + 1 + β} \cdot \frac{2 n + 7}{2 n + 5} R_{n} .$

ステップ 3（マルチンゲール条件）. これが $M_{n} = \frac{R _{n}}{n + β}$ と等しくなればよい。 $R_{n} \geq 2 > 0$ なので、両辺を $R_{n}$ で割って、すべての $n \geq 0$ で
$\frac{2 n + 7}{( 2 n + 5 ) ( n + 1 + β )} = \frac{1}{n + β}$
が成り立つことと同値である。分母を払うと
$(2 n + 7) (n + β) = (2 n + 5) (n + 1 + β) .$
左辺 $= 2 n^{2} + (2 β + 7) n + 7 β$ 、右辺 $= 2 n^{2} + (2 β + 7) n + 5 β + 5$ なので、 $n^{2}$ と $n$ の係数は一致し、条件は
$7 β = 5 β + 5 ⟺ β = \frac{5}{2}$
となる。逆に $β = \frac{5}{2}$ のとき上の等式はすべての $n$ で成り立つ。

したがって $β = \frac{5}{2}$ であり、このとき $M_{n} = \frac{2 R _{n}}{2 n + 5}$ （袋の中の赤玉の割合）がマルチンゲールになる。

答え: $β = \frac{5}{2}$

別解

$n$ 回の操作後、袋の中の玉の総数は $5 + 2 n$ 個である（1 回の操作で、取り出した玉を戻して同色の玉を 2 個加えるので、全体で 2 個増える）。

$F_{n}$ のもとで、次の操作で赤玉が出る確率は $\frac{R _{n}}{2 n + 5}$ で、このとき $R_{n + 1} = R_{n} + 2$ となる。白玉が出る場合は $R_{n + 1} = R_{n}$ である。よって
$E [R_{n + 1} ∣ F_{n}] = R_{n} + 2 \cdot \frac{R _{n}}{2 n + 5} = R_{n} \cdot \frac{2 n + 7}{2 n + 5} .$

$R_{n} \leq 2 + 2 n$ なので $M_{n}$ は可積分であり、 $M_{n}$ は $F_{n}$ 可測である。したがってマルチンゲールであるための条件は $E [M_{n + 1} ∣ F_{n}] = M_{n}$ である。これは
$R_{n} \frac{2 n + 7}{( 2 n + 5 ) ( n + 1 + β )} = \frac{R _{n}}{n + β}$
と書ける。 $R_{n} \geq 2 > 0$ なので、両辺を $R_{n}$ で割り、分母を払って
$(2 n + 7) (n + β) = (2 n + 5) (n + 1 + β)$
を得る。

左辺は $2 n^{2} + (7 + 2 β) n + 7 β$ 、右辺は $2 n^{2} + (7 + 2 β) n + 5 + 5 β$ である。これが全ての $n \geq 0$ で成り立つ条件は $7 β = 5 + 5 β$ 、すなわち $β = \frac{5}{2}$ である。

検算： $β = \frac{5}{2}$ のとき $M_{n} = \frac{2 R _{n}}{2 n + 5}$ （赤玉の割合の 2 倍）である。 $E [R_{n + 1} ∣ F_{n}] = R_{n} \frac{2 n + 7}{2 n + 5}$ なので、 $E [M_{n + 1} ∣ F_{n}] = \frac{2 R _{n}}{2 n + 5} = M_{n}$ となり、確かに成り立つ。

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