確率論の問題

方針（賭博者のマルチンゲール）. $w=(w_1,\dots ,w_5)=(\mathrm{A},\mathrm{B},\mathrm{C},\mathrm{A},\mathrm{B})$ とし、$p(\mathrm{A})=\frac{1}{2},p(\mathrm{B})=\frac{1}{3},p(\mathrm{C})=\frac{1}{6}$ とおく。${\mathcal{F}}_n=\sigma (X_1,\dots ,X_n)$ とする。

各時刻 $j=1,2,\dots$ の試行の直前に賭博者 $j$ が所持金 $1$ を持って現れ、次のように公平な賭けをする：時刻 $j$ で「$X_j=w_1$」に全額を賭け、当たれば $1/p(w_1)$ 倍を受け取り、外れれば $0$ になる。当たった場合は続けて時刻 $j+1$ で「$X_{j+1}=w_2$」に全額を賭け、以下同様に $w_5$ まで続ける（$w_5$ まで当て終えたら以後は賭けない）。賭博者 $j$ の時刻 $n$ での所持金を $Y_n^{(j)}$ とし $Y_{j-1}^{(j)}=1$ とすると、賭けるたびに $$E[Y_{n+1}^{(j)}\mid {\mathcal{F}}_n]=Y_n^{(j)}\cdot p\cdot \frac{1}{p}=Y_n^{(j)}$$ となる（$X_{n+1}$ は ${\mathcal{F}}_n$ と独立）。賭けない場合も $Y_{n+1}^{(j)}=Y_n^{(j)}$ なので同じ式が成り立つ。

$W_n={\sum }_{j=1}^n{Y}_n^{(j)}$（全賭博者の所持金の合計）とおくと、$$E[W_{n+1}\mid {\mathcal{F}}_n]=\sum _{j=1}^n{Y}_n^{(j)}+E[Y_{n+1}^{(n+1)}]=W_n+1$$ なので、$M_n=W_n-n$（$M_0=0$）はマルチンゲールである。

任意抽出定理の適用条件. (i) 互いに重ならない区間 $\{5k-4,\dots ,5k\}$ で $w$ が出る確率は $\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{3}\cdot \frac{1}{6}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{3}=\frac{1}{216}$ で、これらの事象は独立だから $P(\tau >5k)\le (1-\frac{1}{216}{)}^k$。よって $E[\tau ]<\infty$。(ii) $n<\tau$ のとき、時刻 $n$ までに $w$ は完成していないので、所持金が $0$ でない賭博者は、まだ賭けを続けている直近の賭博者 $n-3,n-2,n-1,n$ の高々 $4$ 人であり、時刻 $n+1$ に新たに現れる賭博者を加えても高々 $5$ 人で、各自の所持金は $216$ 以下である。したがって $|W_{n+1}-W_n|\le 5\cdot 216$ となり、$|M_{n+1}-M_n|\le 5\cdot 216+1$ と増分は有界である。
$E[\tau ]<\infty$ かつ増分が有界なので、任意抽出定理により $E[M_{\tau }]=E[M_0]=0$、すなわち $E[\tau ]=E[W_{\tau }]$。

$W_{\tau }$ の計算. 時刻 $\tau$ では $X_{\tau -4},\dots ,X_{\tau }=\mathrm{A},\mathrm{B},\mathrm{C},\mathrm{A},\mathrm{B}$ である。それより前に来た賭博者は（$\tau$ の最小性により途中で $w$ を完成できず）全員所持金 $0$。
- 賭博者 $\tau -4$：$\mathrm{ABCAB}$ をすべて当てるので $2\cdot 3\cdot 6\cdot 2\cdot 3=216$。
- 賭博者 $\tau -3$：最初に $\mathrm{A}$ を賭けるが $X_{\tau -3}=\mathrm{B}$ なので $0$。
- 賭博者 $\tau -2$：$X_{\tau -2}=\mathrm{C}\ne \mathrm{A}$ なので $0$。
- 賭博者 $\tau -1$：$\mathrm{A},\mathrm{B}$ を当てて $2\cdot 3=6$。
- 賭博者 $\tau$：$X_{\tau }=\mathrm{B}\ne \mathrm{A}$ なので $0$。

よって $W_{\tau }=216+6=222$（定数）であり、$$E[\tau ]=222.$$

パターン $\mathrm{ABCAB}$ が初めて現れ終わる時刻の期待値は、自己重なり(境界)の公式で求める。この公式は、パターンの接頭辞と接尾辞が一致する長さ $k$ すべてについて、長さ $k$ の接頭辞が現れる確率の逆数を足し合わせるものである。

$\mathrm{ABCAB}$ の境界を調べる。
- 長さ 5(全体)は常に一致する。
- 長さ 4: 接頭辞 $\mathrm{ABCA}$、接尾辞 $\mathrm{BCAB}$ で不一致。
- 長さ 3: 接頭辞 $\mathrm{ABC}$、接尾辞 $\mathrm{CAB}$ で不一致。
- 長さ 2: 接頭辞 $\mathrm{AB}$、接尾辞 $\mathrm{AB}$ で一致。
- 長さ 1: 接頭辞 $\mathrm{A}$、接尾辞 $\mathrm{B}$ で不一致。

よって一致するのは長さ 5 と長さ 2 である。

確率は次のとおり。
- $P(\mathrm{ABCAB})=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{3}\cdot \frac{1}{6}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{3}=\frac{1}{216}$
- $P(\mathrm{AB})=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{3}=\frac{1}{6}$

したがって $E[\tau ]=216+6=222$。

検算として、マルチンゲール(賭け)による議論でも同じ結果になる。時刻 $\tau$ に生き残っている賭けは、全体($\mathrm{ABCAB}$ を最初から当てた賭け)と、最後の 2 文字 $\mathrm{AB}$ から始めた賭けの 2 つだけで、それぞれの配当は $216$ と $6$ である。