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確率解析の問題

難易度 4大学院入試の難問レベル大学院数学確率解析

$(W_{t})_{t \geq 0}$ を $W_{0} = 0$ を満たす 1 次元標準ブラウン運動とし、
$τ = in f {t \geq 0 : W_{t} \in / (- 1, 2)}$
とおく（ $W$ が初めて $- 1$ または $2$ に到達する時刻）。 $W$ が $- 1$ より先に $2$ に到達したという条件のもとでの $τ$ の条件付き期待値
$E [τ ∣ W_{τ} = 2]$
を求めよ。

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算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

到達確率と停止時刻の期待値は、ブラウン運動から作られる多項式型のマルチンゲールに任意抽出定理を適用して求める。 $τ$ を「 $2$ で止まる場合」と「 $- 1$ で止まる場合」に分けて考える。

ヒント 2

$W_{t}$ , $W_{t}^{2} - t$ , $W_{t}^{3} - 3 t W_{t}$ はマルチンゲールである。 $A = E [τ; W_{τ} = 2]$ , $B = E [τ; W_{τ} = - 1]$ とおくと、 $E [τ W_{τ}] = 2 A - B$ となる。

ヒント 3

$P (W_{τ} = 2) = \frac{1}{3}$ , $A + B = E [τ] = 2$ , $E [W_{τ}^{3}] = 2 = 3 (2 A - B)$ が得られる。ここから $A$ を求め、 $P (W_{τ} = 2)$ で割る。

答えと解説

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\frac{8}{3}

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解説を読む

準備. $τ < \infty$ a.s. であり、さらに $E [τ^{k}] < \infty$ （実際 $P (τ > n) \leq q^{n}$ となる $q < 1$ がとれる）。 $0 \leq t \leq τ$ では $∣ W_{t} ∣ \leq 2$ である。

次の 3 つのマルチンゲールを使う。
$W_{t}, W_{t}^{2} - t, W_{t}^{3} - 3 t W_{t} .$
3 つ目は伊藤の公式で $d (W_{t}^{3} - 3 t W_{t}) = 3 W_{t}^{2} d W_{t} + 3 W_{t} d t - 3 W_{t} d t - 3 t d W_{t} = 3 (W_{t}^{2} - t) d W_{t}$ となることからわかる。停止したマルチンゲール $M_{t \land τ}$ はそれぞれ $C (1 + τ)$ 型の可積分な確率変数で抑えられるので、優収束定理により任意抽出定理 $E [M_{τ}] = M_{0} = 0$ が使える。

到達確率. $p = P (W_{τ} = 2)$ とすると $E [W_{τ}] = 0$ より $2 p - (1 - p) = 0$ 、よって $p = \frac{1}{3}$ 。

期待値の分解. $A = E [τ; W_{τ} = 2]$ , $B = E [τ; W_{τ} = - 1]$ とおく。

$E [W_{τ}^{2} - τ] = 0$ より
$A + B = E [τ] = E [W_{τ}^{2}] = 4 \cdot \frac{1}{3} + 1 \cdot \frac{2}{3} = 2.$

$E [W_{τ}^{3} - 3 τ W_{τ}] = 0$ より $E [W_{τ}^{3}] = 3 E [τ W_{τ}]$ で、
$E [W_{τ}^{3}] = 8 \cdot \frac{1}{3} + (- 1) \cdot \frac{2}{3} = 2, E [τ W_{τ}] = 2 A - B .$
よって $2 A - B = \frac{2}{3}$ 。

連立して $3 A = 2 + \frac{2}{3} = \frac{8}{3}$ 、すなわち $A = \frac{8}{9}$ （ $B = \frac{10}{9}$ ）。

結論.
$E [τ ∣ W_{τ} = 2] = \frac{A}{p} = \frac{8/9}{1/3} = \frac{8}{3} .$

（別解: $h (x) = P_{x} (W_{τ} = 2) = \frac{x + 1}{3}$ に対し $v (x) = E_{x} [τ; W_{τ} = 2]$ は $\frac{1}{2} v^{''} = - h$ , $v (- 1) = v (2) = 0$ を満たす。 $y = x + 1$ とおくと $v = y - \frac{y ^{3}}{9}$ で、 $x = 0$ のとき $v = \frac{8}{9}$ となり一致する。）

別解

$X_{t} = W_{t} + 1$ とおくと、 $X$ は 1 から出発する標準ブラウン運動で、 $τ$ は $X$ が区間 $(0, 3)$ を出る時刻、条件は「 $X$ が 0 より先に $3$ に到達する」である。 $h (x) = P_{x} (先に 3 に到達) = x /3$ による Doob の $h$ 変換を考えると、条件付き過程は生成作用素 $\frac{1}{2} f^{''} + \frac{1}{x} f^{'}$ の拡散（3 次元ベッセル過程と同じ）で、 $3$ に到達する時刻の期待値 $u (x) = E_{x} [τ ∣ 先に 3]$ は $\frac{1}{2} u^{''} + \frac{1}{x} u^{'} = - 1$ 、 $u (3) = 0$ 、 $u$ は $x = 0$ で有界、を満たす。 $(x^{2} u^{'})^{'} = - 2 x^{2}$ より $x^{2} u^{'} = - \frac{2}{3} x^{3}$ （ $x = 0$ で有界のため定数は 0）、 $u^{'} = - \frac{2}{3} x$ 、 $u = - \frac{1}{3} x^{2} + C$ 。 $u (3) = 0$ から $C = 3$ なので $u (x) = \frac{9 - x ^{2}}{3}$ 。 $x = 1$ で $u (1) = \frac{8}{3}$ 。\n検算: 同様に先に $0$ に到達する条件のもとでは $v (x) = \frac{9 - ( 3 - x ) ^{2}}{3}$ であり $v (1) = \frac{5}{3}$ 。 $P (先に 3) = \frac{1}{3}$ なので $E [τ] = \frac{1}{3} \cdot \frac{8}{3} + \frac{2}{3} \cdot \frac{5}{3} = \frac{8 + 10}{9} = 2$ 。これは $E [τ] = 1 \cdot 2 = 2$ （ $E [τ] = ab$ ）と一致する。

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