脱出時刻の高次モーメントと条件付き期待値

$W_{t}^{3} - 3 t W_{t}$ や $W_{t}^{4} - 6 t W_{t}^{2} + 3 t^{2}$ に任意停止定理を使い、区間からの脱出時刻 $τ$ について $E [τ^{2}]$ や $E [τ ∣ W_{τ} = b]$ を求められる

前提

ブラウン運動の停止時刻と到達確率（大学院数学確率解析）
指数マルチンゲールと多項式マルチンゲール（大学院数学確率解析）

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算数中学高校大学大学院

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分数のかけ算・わり算（算数計算と数のきまり）
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分配法則を使った計算のくふう（算数計算と数のきまり）
文字式の計算（同類項・分配法則）（中学数学数と式）
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3 次式までの展開と因数分解（数学I 数と式）
微分係数と導関数の定義（数学II 微分法と積分法）
多項式の微分（数学II 微分法と積分法）
多項式の不定積分（数学II 微分法と積分法）
等間隔にならんだ数の和（算数計算と数のきまり）
等差・等比数列の和と Σ （数学B 数列）
数列の極限（数学III 極限）
関数の極限（数学III 極限）
積と商の微分（数学III 微分法）
合成関数の微分（数学III 微分法）
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部分積分（数学III 積分法）
定積分の計算（数学II 微分法と積分法）
定積分の置換・部分積分と偶関数・奇関数（数学III 積分法）
広義積分（大学数学微分積分）
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樹形図で数え上げる（算数場合の数）
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和の法則・積の法則と樹形図（数学A 場合の数と確率）
順列・円順列・重複順列（数学A 場合の数と確率）
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確率の定義と和事象・余事象（数学A 場合の数と確率）
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確率変数と確率分布（数学B 統計的な推測）
平均と合計（算数いろいろな文章題）
平均値・中央値・最頻値（中学数学データの活用）
代表値（平均値・中央値・最頻値）（数学I データの分析）
分散と標準偏差（数学I データの分析）
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確率変数の期待値・分散と $a X + b$ （数学B 統計的な推測）
連続型確率変数と確率密度関数（数学B 統計的な推測）
一様分布・指数分布（大学数学確率・統計）
測度論的な期待値と収束定理（大学院数学確率論）
確率変数の和と積（独立な場合）（数学B 統計的な推測）
重積分と累次積分（大学数学微分積分）
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条件付き確率と乗法定理（数学A 場合の数と確率）
条件付き分布と全期待値の公式（大学数学確率・統計）
σ 加法族に関する条件付き期待値（大学院数学確率論）
マルチンゲール（大学院数学確率論）
任意停止定理（大学院数学確率論）
マルコフ連鎖と推移確率（大学数学確率・統計）
到達確率と平均到達時間（大学数学確率・統計）
単純ランダムウォークと反射原理（大学院数学確率論）
独立な試行と反復試行（数学A 場合の数と確率）
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逆算（□ を求める）（算数計算と数のきまり）
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特性関数（大学数学確率・統計）
特性関数の性質と反転公式（大学院数学確率論）
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標本平均の分布（数学B 統計的な推測）
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偏微分と全微分（大学数学微分積分）
多変数の連鎖律（大学数学微分積分）
重積分の変数変換とヤコビアン（大学数学微分積分）
ガウス積分（大学数学微分積分）
正規分布の密度と積率（大学数学確率・統計）
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中心極限定理（特性関数による）（大学院数学確率論）
ブラウン運動（大学院数学確率論）
ブラウン運動の停止時刻と到達確率（大学院数学確率解析）
伊藤積分と伊藤の等長性（大学院数学確率解析）
伊藤の公式（大学院数学確率解析）
指数マルチンゲールと多項式マルチンゲール（大学院数学確率解析）

説明

ブラウン運動 $W$ （ $W_{0} = 0$ ）が区間 $(- a, b)$ （ $a, b > 0$ ）から初めて出る時刻 $τ$ について、到達確率 $P (W_{τ} = b) = \frac{a}{a + b}$ や平均 $E [τ] = ab$ より細かい情報を求めます。3 次・4 次の多項式マルチンゲール $W_{t}^{3} - 3 t W_{t}$ 、 $W_{t}^{4} - 6 t W_{t}^{2} + 3 t^{2}$ に任意停止定理を使うと、「 $b$ 側から出たときの平均脱出時刻」 $E [τ ∣ W_{τ} = b]$ や 2 次モーメント $E [τ^{2}]$ が連立 1 次方程式から求まります。

なぜそうしてよいのか

$τ$ は確率 $1$ で有限で、 $W_{τ}$ は $b$ か $- a$ の 2 値しかとりません。そこで $W_{τ}$ の多項式の期待値はすぐ計算でき、 $τ W_{τ}$ や $τ W_{τ}^{2}$ のような「時刻と位置の混ざった量」は、 $A = E [τ; W_{τ} = b]$ 、 $B = E [τ; W_{τ} = - a]$ （ $E [X; F]$ は $E [X 1_{F}]$ の略）を使って $E [τ W_{τ}] = b A - a B$ のように $A, B$ の 1 次式で表せます。一方 $A + B = E [τ] = ab$ はすでに知っています。したがって $E [τ W_{τ}]$ がわかれば $A, B$ が決まり、事象 ${W_{τ} = b}$ の確率は正なので $E [τ ∣ W_{τ} = b] = A / P (W_{τ} = b)$ が求まります。

$E [τ W_{τ}]$ を与えるのが $M_{t} = W_{t}^{3} - 3 t W_{t}$ です。任意停止定理を有界な停止時刻 $τ \land n$ に使うと $E [W_{τ \land n}^{3}] = 3 E [(τ \land n) W_{τ \land n}]$ 。 $∣ W_{τ \land n} ∣ \leq max (a, b)$ であり、右辺の中身は $3 max (a, b) τ$ （可積分、 $E [τ] = ab$ ）で押さえられるので、優収束定理で $n \to \infty$ として $E [W_{τ}^{3}] = 3 E [τ W_{τ}]$ を得ます。

同様に $W_{t}^{4} - 6 t W_{t}^{2} + 3 t^{2}$ からは $3 E [(τ \land n)^{2}] = 6 E [(τ \land n) W_{τ \land n}^{2}] - E [W_{τ \land n}^{4}]$ です。右辺は $n$ によらず有界なので、左辺に単調収束定理を使うと $E [τ^{2}] < \infty$ がわかり、そのうえで右辺に優収束定理を使えて $3 E [τ^{2}] = 6 E [τ W_{τ}^{2}] - E [W_{τ}^{4}]$ が成り立ちます。

手順

脱出時刻 $τ = in f {t \geq 0 : W_{t} \in / (- a, b)}$ について、既知の値 $p = P (W_{τ} = b) = \frac{a}{a + b}$ 、 $E [τ] = ab$ を用意する
未知数を $A = E [τ; W_{τ} = b]$ 、 $B = E [τ; W_{τ} = - a]$ とおき、 $A + B = ab$ を書く
使うマルチンゲールを選ぶ: $E [τ W_{τ}]$ が要るなら $W_{t}^{3} - 3 t W_{t}$ 、 $E [τ^{2}]$ が要るなら $W_{t}^{4} - 6 t W_{t}^{2} + 3 t^{2}$
$τ \land n$ で任意停止定理を使い、 $n \to \infty$ の極限を優収束定理（必要なら単調収束定理）で正当化して、 $E [W_{τ}^{3}] = 3 E [τ W_{τ}]$ などを得る
$W_{τ} \in {b, - a}$ を使って両辺を $p$ , $A$ , $B$ で表し、連立方程式を解く
$E [τ ∣ W_{τ} = b] = \frac{A}{p}$ として答える

例題

$W$ を $W_{0} = 0$ の標準ブラウン運動とし、 $τ = in f {t \geq 0 : W_{t} \in / (- 1, 2)}$ とする。 $E [τ ∣ W_{τ} = 2]$ を求めよ。

例題の解答

【手順 1】 $a = 1, b = 2$ なので $p = P (W_{τ} = 2) = \frac{1}{3}$ 、 $P (W_{τ} = - 1) = \frac{2}{3}$ 、 $E [τ] = ab = 2$ 。

【手順 2】 $A = E [τ; W_{τ} = 2]$ 、 $B = E [τ; W_{τ} = - 1]$ とおくと $A + B = 2$ 。

【手順 3】 $E [τ W_{τ}]$ が必要なので $M_{t} = W_{t}^{3} - 3 t W_{t}$ を使う。

【手順 4】 $E [M_{τ \land n}] = 0$ で、 $∣ W_{τ \land n} ∣ \leq 2$ 、 $∣ (τ \land n) W_{τ \land n} ∣ \leq 2 τ$ （可積分）なので、優収束定理により $E [W_{τ}^{3}] = 3 E [τ W_{τ}]$ 。

【手順 5】左辺は $2^{3} \cdot \frac{1}{3} + (- 1)^{3} \cdot \frac{2}{3} = \frac{8}{3} - \frac{2}{3} = 2$ 。右辺は $3 (2 A - B)$ 。よって $2 A - B = \frac{2}{3}$ 。 $A + B = 2$ と合わせて $3 A = \frac{8}{3}$ 、 $A = \frac{8}{9}$ 。

【手順 6】 $E [τ ∣ W_{τ} = 2] = \frac{A}{p} = \frac{8/9}{1/3} = \frac{8}{3}$ 。

答え: $\frac{8}{3}$

よくある誤り

$E [τ ∣ W_{τ} = b]$ を $E [τ; W_{τ} = b] = A$ のままにしてしまう誤り。 $A$ は事象上の期待値で条件付き期待値ではない。正しくは確率で割って $E [τ ∣ W_{τ} = b] = \frac{A}{P ( W _{τ} = b )}$ （上の例では $\frac{8}{9}$ ではなく $\frac{8}{3}$ ）。
$τ$ と $W_{τ}$ を独立とみなして $E [τ W_{τ}] = E [τ] E [W_{τ}] = 0$ としてしまう誤り。一般には独立でなく、正しくは $E [τ W_{τ}] = \frac{1}{3} E [W_{τ}^{3}] = \frac{ab ( b - a )}{3}$ （ $a \neq = b$ なら $0$ でない）。
$4$ 次のマルチンゲールで $3 t^{2}$ の項を落とし、 $W_{t}^{4} - 6 t W_{t}^{2}$ に任意停止定理を使ってしまう誤り。これはマルチンゲールではない。正しくは $W_{t}^{4} - 6 t W_{t}^{2} + 3 t^{2}$ を使い、対称な区間 $(- a, a)$ なら $a^{4} - 6 a^{2} \cdot a^{2} + 3 E [τ^{2}] = 0$ から $E [τ^{2}] = \frac{5 a ^{4}}{3}$ 。
$E [M_{τ}] = 0$ を条件を確かめずに書いてしまう誤り。 $τ$ は有界でないので、正しくは $τ \land n$ で任意停止定理を使い、 $∣ W_{τ \land n} ∣ \leq max (a, b)$ と $E [τ] < \infty$ （4 次なら $E [τ^{2}] < \infty$ ）を使って極限を交換する。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（大学院の講義の例題レベル）
$(W_{t})_{t \geq 0}$ を確率空間 $(Ω, F, P)$ 上の $W_{0} = 0$ を満たす $1$ 次元標準ブラウン運動とし， $(F_{t})_{t \geq 0}$ をその自然なフィルトレーションとする。
$τ = in f {t \geq 0 : W_{t} \in / (- 1, 2)}$
とおく（ $W$ が初めて $- 1$ または $2$ に達する時刻）。次の $4$ つの過程
$W_{t}, W_{t}^{2} - t, W_{t}^{3} - 3 t W_{t}, W_{t}^{4} - 6 t W_{t}^{2} + 3 t^{2}$
がいずれも $(F_{t})$ -マルチンゲールであること，および $τ < \infty$ a.s.， $E [τ] = 2$ であることは用いてよい。 $E [τ^{2}]$ を求めよ。

脱出時刻の高次モーメントと条件付き期待値

前提

説明

なぜそうしてよいのか

手順

例題

よくある誤り

入口の問題

この技能を使う問題