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確率解析の問題

難易度 1大学院の講義の例題レベル大学院数学確率解析

$(W_{t})_{t \geq 0}$ を確率空間 $(Ω, F, P)$ 上の $W_{0} = 0$ を満たす $1$ 次元標準ブラウン運動とし， $(F_{t})_{t \geq 0}$ をその自然なフィルトレーションとする。
$τ = in f {t \geq 0 : W_{t} \in / (- 1, 2)}$
とおく（ $W$ が初めて $- 1$ または $2$ に達する時刻）。次の $4$ つの過程
$W_{t}, W_{t}^{2} - t, W_{t}^{3} - 3 t W_{t}, W_{t}^{4} - 6 t W_{t}^{2} + 3 t^{2}$
がいずれも $(F_{t})$ -マルチンゲールであること，および $τ < \infty$ a.s.， $E [τ] = 2$ であることは用いてよい。 $E [τ^{2}]$ を求めよ。

この問題で使うもの

脱出時刻の高次モーメントと条件付き期待値（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（115 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

4 次のマルチンゲールに任意停止定理を使うと $E [W_{τ}^{4}] - 6 E [τ W_{τ}^{2}] + 3 E [τ^{2}] = 0$ となる。区間が非対称なので $W_{τ}^{2}$ は定数でなく， $E [τ W_{τ}^{2}]$ を別に求める必要がある。

ヒント 2

$W_{τ} \in {- 1, 2}$ なので， $E [τ; W_{τ} = - 1]$ と $E [τ; W_{τ} = 2]$ の 2 つが分かれば $E [τ W_{τ}^{2}]$ が出る。 $E [τ] = 2$ と， $W_{t}^{3} - 3 t W_{t}$ から得られる $E [τ W_{τ}] = \frac{1}{3} E [W_{τ}^{3}]$ を連立する。

ヒント 3

$E [W_{τ}] = 0$ から $P (W_{τ} = 2) = \frac{1}{3}$ ， $P (W_{τ} = - 1) = \frac{2}{3}$ 。これより $E [W_{τ}^{3}] = 2$ ， $E [τ W_{τ}] = \frac{2}{3}$ ， $E [W_{τ}^{4}] = 6$ となる。

答えと解説

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\frac{22}{3}

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解説を読む

方針. 4 次のマルチンゲール $W_{t}^{4} - 6 t W_{t}^{2} + 3 t^{2}$ に任意停止定理を使うと $E [W_{τ}^{4}] - 6 E [τ W_{τ}^{2}] + 3 E [τ^{2}] = 0$ が得られる。区間が非対称なので $W_{τ}^{2}$ は定数ではなく， $E [τ W_{τ}^{2}]$ を別に求める必要がある。そこで $W_{τ}$ の分布と， $τ$ を「どちらの端から出たか」で分けた期待値を， $W_{t}$ ・ $W_{t}^{2} - t$ ・ $W_{t}^{3} - 3 t W_{t}$ から求める。

以下 $A = {W_{τ} = - 1}$ ， $B = {W_{τ} = 2}$ とおく。 $τ < \infty$ a.s. と道の連続性より $W_{τ} \in {- 1, 2}$ で， $P (A) + P (B) = 1$ 。また $t \leq τ$ では $∣ W_{t} ∣ \leq 2$ なので $∣ W_{t \land τ} ∣ \leq 2$ である。

極限操作の正当化. マルチンゲール $N_{t}$ に対し， $t \land τ$ は有界な停止時刻なので $E [N_{t \land τ}] = N_{0}$ が成り立つ。 $t \to \infty$ とするとき，
- $W_{t \land τ}^{k}$ （ $k = 1, 3, 4$ ）は $2^{k}$ で抑えられ $W_{τ}^{k}$ に収束するので，有界収束定理が使える。
- $∣ (t \land τ) W_{t \land τ}^{k} ∣ \leq 2^{k} τ$ （ $k = 1, 2$ ）で $E [τ] = 2 < \infty$ だから，優収束定理が使える。
- $(t \land τ)^{2}$ は $t$ について単調増加で $τ^{2}$ に収束するので，単調収束定理より $E [(t \land τ)^{2}] \to E [τ^{2}]$ 。4 次のマルチンゲールの式から $3 E [(t \land τ)^{2}] \leq 6 E [(t \land τ) W_{t \land τ}^{2}] \leq 24 E [τ] = 48$ なので，この極限は有限である。

したがって各マルチンゲールについて「 $τ$ で止めた式」が成り立つ。

(1) $W_{τ}$ の分布. $E [W_{τ}] = 0$ より $- P (A) + 2 P (B) = 0$ 。 $P (A) + P (B) = 1$ と合わせて
$P (A) = \frac{2}{3}, P (B) = \frac{1}{3} .$
よって
$E [W_{τ}^{3}] = \frac{2}{3} \cdot (- 1) + \frac{1}{3} \cdot 8 = 2, E [W_{τ}^{4}] = \frac{2}{3} \cdot 1 + \frac{1}{3} \cdot 16 = 6.$

(2) $E [τ W_{τ}]$ . $W_{t}^{3} - 3 t W_{t}$ より $E [W_{τ}^{3}] - 3 E [τ W_{τ}] = 0$ ，すなわち
$E [τ W_{τ}] = \frac{2}{3} .$

(3) 端ごとの期待値. $x = E [τ; A]$ ， $y = E [τ; B]$ とおくと， $E [τ] = 2$ と (2) より
$x + y = 2, - x + 2 y = \frac{2}{3} .$
足して $3 y = \frac{8}{3}$ ，よって $y = \frac{8}{9}$ ， $x = \frac{10}{9}$ 。したがって
$E [τ W_{τ}^{2}] = 1 \cdot x + 4 \cdot y = \frac{10}{9} + \frac{32}{9} = \frac{14}{3} .$

(4) $E [τ^{2}]$ . $W_{t}^{4} - 6 t W_{t}^{2} + 3 t^{2}$ より
$E [W_{τ}^{4}] - 6 E [τ W_{τ}^{2}] + 3 E [τ^{2}] = 0.$
(1), (3) を代入して
$6 - 6 \cdot \frac{14}{3} + 3 E [τ^{2}] = 0 ⟹ 3 E [τ^{2}] = 22 ⟹ E [τ^{2}] = \frac{22}{3} .$

答え. $\frac{22}{3}$

別解

$τ$ は区間 $(- 1, 2)$ からの脱出時刻なので $τ$ は指数的可積分性をもち、 $∣ W_{t \land τ} ∣ \leq 2$ である。したがって各マルチンゲールに任意停止定理（ $t \to \infty$ で有界収束・優収束定理）を適用でき、 $E [W_{τ}] = 0$ 、 $E [W_{τ}^{2} - τ] = 0$ 、 $E [W_{τ}^{3} - 3 τ W_{τ}] = 0$ 、 $E [W_{τ}^{4} - 6 τ W_{τ}^{2} + 3 τ^{2}] = 0$ が成り立つ。

(1) 脱出点の分布。 $p = P (W_{τ} = 2)$ とすると $E [W_{τ}] = 2 p - (1 - p) = 0$ より $p = \frac{1}{3}$ 、 $P (W_{τ} = - 1) = \frac{2}{3}$ 。
検算: $E [W_{τ}^{2}] = 4 \cdot \frac{1}{3} + 1 \cdot \frac{2}{3} = 2 = E [τ]$ で一致。

(2) $E [W_{τ}^{3}] = 8 \cdot \frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{2}{3} = 2$ 。よって $E [τ W_{τ}] = \frac{E [ W _{τ}^{3} ]}{3} = \frac{2}{3}$ 。

(3) $A = E [τ; W_{τ} = 2]$ 、 $B = E [τ; W_{τ} = - 1]$ とおく。 $A + B = E [τ] = 2$ 、 $E [τ W_{τ}] = 2 A - B = \frac{2}{3}$ 。辺々を足して $3 A = \frac{8}{3}$ 、 $A = \frac{8}{9}$ 、 $B = \frac{10}{9}$ 。
よって $E [τ W_{τ}^{2}] = 4 A + B = \frac{32}{9} + \frac{10}{9} = \frac{14}{3}$ 。

(4) $E [W_{τ}^{4}] = 16 \cdot \frac{1}{3} + 1 \cdot \frac{2}{3} = 6$ 。4 次のマルチンゲールから
$6 - 6 \cdot \frac{14}{3} + 3 E [τ^{2}] = 0 \Rightarrow 3 E [τ^{2}] = 28 - 6 = 22 \Rightarrow E [τ^{2}] = \frac{22}{3} .$

検算: 同じ手順を対称区間 $(- 1, 1)$ に適用すると $E [W_{τ}^{4}] = 1$ 、 $E [τ W_{τ}^{2}] = E [τ] = 1$ から $1 - 6 + 3 E [τ^{2}] = 0$ 、 $E [τ^{2}] = \frac{5}{3}$ となり、既知の値 $\frac{5 a ^{4}}{3}$ （ $a = 1$ ）と一致する。また $E [τ^{2}] = \frac{22}{3} \geq E [τ]^{2} = 4$ で整合的。

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