確率・統計の問題

実数値の確率変数 $X$ が $P(0\le X\le 1)=1$ を満たすとする（$X$ は離散型でも連続型でもそれ以外でもよい）。確率変数 $Z$ の分散を $V(Z)=E\left[(Z-E[Z]{)}^2\right]$ とする。このとき、すべての正の整数 $n$ に対して
$$V(X^n)\le n^{2}V(X)$$
が成り立つことを証明せよ。

ただし、期待値の線形性と単調性（確率 $1$ で $U\le W$ が成り立つ有界な確率変数 $U,W$ に対して $E[U]\le E[W]$）は用いてよい。

確率変数 $X$ の確率密度関数が
$$f_X(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{2}{x}^2{e}^{-x}& (x>0)\\ 0& (x\le 0)\end{array}$$
で与えられている。$X=x$ $(x>0)$ が与えられたとき、確率変数 $Y$ の条件付き確率密度関数は
$$f_{Y\mid X}(y\mid x)=\{\begin{array}{ll}x{e}^{-xy}& (y>0)\\ 0& (y\le 0)\end{array}$$
であるとする。$X$ と $Y$ の相関係数 $\rho (X,Y)$ を求めよ。

$n$ を正の整数とし、$X_1,X_2,\dots ,X_n$ を互いに独立で、いずれも区間 $[-1,1]$ 上の一様分布（確率密度関数が $-1\le x\le 1$ で $\frac{1}{2}$、それ以外で $0$）に従う確率変数とする。$S_n=X_1+X_2+\cdots +X_n$ とおく。このとき、すべての正の実数 $s$ に対して
$$P(S_n\ge s)\le \exp \left(-\frac{3s^2}{2n}\right)$$
が成り立つことを証明せよ。

ただし、次の事実は用いてよい。
- 期待値の線形性と、マルコフの不等式（確率 $1$ で $Y\ge 0$ を満たし期待値が有限な確率変数 $Y$ と $a>0$ に対して $P(Y\ge a)\le \frac{E[Y]}{a}$）
- 互いに独立な有界な確率変数 $Y_1,\dots ,Y_n$ に対して $E[Y_1{Y}_2\cdots Y_n]=E[Y_1]E[Y_2]\cdots E[Y_n]$ であること、および $X_1,\dots ,X_n$ が独立ならば、実数値関数 $g$ による $g(X_1),\dots ,g(X_n)$ も独立であること
- 指数関数のマクローリン展開 $e^u=\sum _{k=0}^{\infty }\frac{u^k}{k!}$ $(u\in \mathbb{R})$

$\lambda$ を正の定数とする。確率変数 $X,Y$ は互いに独立で、いずれも確率密度関数
$$f(t)=\{\begin{array}{ll}\lambda e^{-\lambda t}& (t>0)\\ 0& (t\le 0)\end{array}$$
をもつ指数分布に従うとする。
$$U=\frac{X}{X+Y},V=X+Y$$
とおく（$X,Y$ は確率 $1$ で正なので、$U,V$ は確率 $1$ で定まる）。このとき、$U$ は区間 $(0,1)$ 上の一様分布に従い、かつ $U$ と $V$ は独立であることを証明せよ。

ただし、次の 2 つの事実は用いてよい。
- （変数変換公式）$(X,Y)$ が開集合 $D\subset {\mathbb{R}}^2$ の外では $0$ となる同時密度関数 $f_{X,Y}$ をもち、$\Phi :D\to E$ が開集合 $E$ への $C^1$ 級の全単射で、逆写像 $(u,v)\mapsto (x(u,v),y(u,v))$ も $C^1$ 級でそのヤコビアン $J(u,v)=\frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)}$ が $E$ 上で $0$ にならないとき、$(U,V)=\Phi (X,Y)$ の同時密度関数は $E$ 上で $f_{X,Y}(x(u,v),y(u,v))|J(u,v)|$、$E$ の外で $0$ である。
- 2 つの連続型確率変数が独立であることは、同時密度関数が各周辺密度関数の積に等しいことと同値である。

$n$ を $2$ 以上の整数、$\lambda$ を未知の正の定数とする。$X_1,X_2,\dots ,X_n$ は互いに独立で、いずれも確率密度関数
$$f(x;\lambda )=\{\begin{array}{ll}\lambda e^{-\lambda x}& (x>0)\\ 0& (x\le 0)\end{array}$$
をもつ指数分布に従う確率変数とし、$S=X_1+X_2+\cdots +X_n$ とおく。

このとき、$\lambda$ の最尤推定量は $\hat{\lambda }=\frac{n}{S}$ であり、さらに $\frac{n-1}{n}\hat{\lambda }=\frac{n-1}{S}$ は $\lambda$ の不偏推定量であることを証明せよ。

ただし、正の整数 $m$ に対して、$\lambda$ をパラメータとする指数分布に従う独立な $m$ 個の確率変数の和は確率密度関数
$$g_m(s)=\{\begin{array}{ll}\frac{{\lambda }^m{s}^{m-1}{e}^{-\lambda s}}{(m-1)!}& (s>0)\\ 0& (s\le 0)\end{array}$$
をもつこと（したがって ${\int }_0^{\infty }{g}_m(s)ds=1$ であること）は用いてよい。また、観測値 $x_1,\dots ,x_n$ はすべて正であるとして最尤推定を考えてよい。