確率・統計の問題

難易度 4大学院入試の標準レベル証明問題大学数学確率・統計

$λ$ を正の定数とする。確率変数 $X, Y$ は互いに独立で、いずれも確率密度関数
$f (t) = {λ e^{- λ t} 0 (t > 0) (t \leq 0)$
をもつ指数分布に従うとする。
$U = \frac{X}{X + Y}, V = X + Y$
とおく（ $X, Y$ は確率 $1$ で正なので、 $U, V$ は確率 $1$ で定まる）。このとき、 $U$ は区間 $(0, 1)$ 上の一様分布に従い、かつ $U$ と $V$ は独立であることを証明せよ。

ただし、次の 2 つの事実は用いてよい。
- （変数変換公式） $(X, Y)$ が開集合 $D \subset R^{2}$ の外では $0$ となる同時密度関数 $f_{X, Y}$ をもち、 $Φ : D \to E$ が開集合 $E$ への $C^{1}$ 級の全単射で、逆写像 $(u, v) \mapsto (x (u, v), y (u, v))$ も $C^{1}$ 級でそのヤコビアン $J (u, v) = \frac{\partial ( x , y )}{\partial ( u , v )}$ が $E$ 上で $0$ にならないとき、 $(U, V) = Φ (X, Y)$ の同時密度関数は $E$ 上で $f_{X, Y} (x (u, v), y (u, v)) ∣ J (u, v) ∣$ 、 $E$ の外で $0$ である。
- 2 つの連続型確率変数が独立であることは、同時密度関数が各周辺密度関数の積に等しいことと同値である。

この問題で使うもの

確率変数の変換（説明と入口の問題）
同時分布・周辺分布と独立性（説明と入口の問題）
一様分布・指数分布（説明と入口の問題）
部分積分（説明と入口の問題）
広義積分（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（67 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

$(X, Y)$ から $(U, V)$ への変数変換公式を使って $(U, V)$ の同時密度関数を求め、それが $u$ だけの関数と $v$ だけの関数の積に分かれることを示しましょう。

ヒント 2

逆変換は $x = uv$ , $y = (1 - u) v$ で、 $(0, \infty)^{2}$ と $(0, 1) \times (0, \infty)$ の間の全単射になります。ヤコビアン $\partial (x, y) / \partial (u, v)$ を計算しましょう。

ヒント 3

ヤコビアンは $v$ となり、 $(U, V)$ の同時密度は $0 0$ で $λ^{2} v e^{- λ v}$ です。ここから $U$ , $V$ の周辺密度を積分で求めましょう。

採点の観点と模範解答

自分で証明を書いてから、採点の観点で見比べてください。

採点の観点を見る

独立性から $(X, Y)$ の同時密度 $λ^{2} e^{- λ (x + y)}$ （ $x, y > 0$ ）を書いている（1 点）
$(x, y) \mapsto (x / (x + y), x + y)$ が $(0, \infty)^{2}$ から $(0, 1) \times (0, \infty)$ への全単射であることを、逆写像 $x = uv$ , $y = (1 - u) v$ を示して確かめている（3 点）
ヤコビアンを $v$ と正しく計算し、 $(U, V)$ の同時密度 $λ^{2} v e^{- λ v}$ （ $0 0$ ）を導いている（2 点）
$\int_{0}^{\infty} λ^{2} v e^{- λ v} d v = 1$ を計算して $U$ の周辺密度が $(0, 1)$ 上で $1$ であることを示している（2 点）
$V$ の周辺密度を求め、領域の外も含めて同時密度が周辺密度の積であることを確かめて独立性を結論している（2 点）

結果を記録する（このブラウザにだけ保存されます）:

模範解答を読む

ステップ 1（ $(X, Y)$ の同時密度）. $X, Y$ は独立なので、同時密度関数は周辺密度の積で
$f_{X, Y} (x, y) = {λ^{2} e^{- λ (x + y)} 0 ((x, y) \in D) (otherwise), D = {(x, y) ∣ x > 0, y > 0}$
である。 $D$ は開集合である。

ステップ 2（変換が全単射であること）. $E = {(u, v) ∣ 0 0}$ （開集合）とし、 $Φ (x, y) = (\frac{x}{x + y}, x + y)$ とおく。
- $(x, y) \in D$ ならば $x + y > 0$ なので $Φ$ は $D$ 上で $C^{1}$ 級であり、 $0 < \frac{x}{x + y} < 1$ , $x + y > 0$ より $Φ (x, y) \in E$ である。
- $(u, v) \in E$ に対し $x = uv$ , $y = (1 - u) v$ とおくと、 $u > 0$ , $1 - u > 0$ , $v > 0$ より $(x, y) \in D$ であり、 $x + y = v$ , $\frac{x}{x + y} = u$ なので $Φ (x, y) = (u, v)$ である。
- 逆に $Φ (x, y) = (u, v)$ ならば $v = x + y$ , $x = uv$ , $y = v - x = (1 - u) v$ と一意に定まる。

よって $Φ : D \to E$ は全単射で、逆写像は $x (u, v) = uv$ , $y (u, v) = (1 - u) v$ であり、これは $C^{1}$ 級である。

ステップ 3（ヤコビアン）.
$J (u, v) = det \frac{\partial x}{\partial u} \frac{\partial y}{\partial u} \frac{\partial x}{\partial v} \frac{\partial y}{\partial v} = det (v - v u 1 - u) = v (1 - u) + uv = v .$
$E$ 上では $v > 0$ なので $J (u, v) \neq = 0$ であり、 $∣ J (u, v) ∣ = v$ である。

ステップ 4（ $(U, V)$ の同時密度）. 変数変換公式の前提がすべて満たされたので、 $x + y = v$ に注意して
$f_{U, V} (u, v) = {λ^{2} e^{- λ v} v 0 (0 0) (otherwise)$
となる。

ステップ 5（周辺密度）. $0 < u < 1$ のとき、部分積分により
$\int_{0}^{\infty} λ^{2} v e^{- λ v} d v = λ^{2} ([- \frac{v}{λ} e^{- λ v}]_{0}^{\infty} + \frac{1}{λ} \int_{0}^{\infty} e^{- λ v} d v) = λ^{2} (0 + \frac{1}{λ} \cdot \frac{1}{λ}) = 1$
（ $lim_{v \to \infty} v e^{- λ v} = 0$ を用いた）なので、 $U$ の周辺密度は
$f_{U} (u) = \int_{- \infty}^{\infty} f_{U, V} (u, v) d v = {10 (0 < u < 1) (otherwise)$
である。これは区間 $(0, 1)$ 上の一様分布の密度関数なので、 $U$ は $(0, 1)$ 上の一様分布に従う。

同様に $v > 0$ のとき $\int_{0}^{1} λ^{2} v e^{- λ v} d u = λ^{2} v e^{- λ v}$ なので、 $V$ の周辺密度は
$f_{V} (v) = {λ^{2} v e^{- λ v} 0 (v > 0) (v \leq 0)$
である。

ステップ 6（独立性）. すべての $(u, v) \in R^{2}$ について $f_{U, V} (u, v) = f_{U} (u) f_{V} (v)$ が成り立つことを、場合に分けて確かめる。
- $0 0$ のとき: 左辺 $= λ^{2} v e^{- λ v}$ 、右辺 $= 1 \cdot λ^{2} v e^{- λ v}$ で等しい。
- それ以外（ $u \in / (0, 1)$ または $v \leq 0$ ）のとき: 左辺 $= 0$ であり、 $f_{U} (u) = 0$ または $f_{V} (v) = 0$ なので右辺も $0$ である。

よって同時密度関数は周辺密度関数の積に等しく、与えられた事実より $U$ と $V$ は独立である。

以上により、 $U = \frac{X}{X + Y}$ は区間 $(0, 1)$ 上の一様分布に従い、かつ $U$ と $V = X + Y$ は独立であることが示された。

この問題の確認

AI が作成した問題です。公開前に次の確認を行いました。

別の AI が模範解答を見ずに 3 回証明を試み、3 回証明できました
2 つの AI が独立に、模範解答の証明を 1 ステップずつ確かめました
AI の査読で、条件・解説・表記を確認しました
答えの正しさについて慎重に扱うべき点が見つからなかったため、自動で公開しました

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