数理ファイナンス・保険数学の問題

難易度 4大学院入試の標準レベル証明問題大学数学数理ファイナンス・保険数学

$S > 0$ , $K > 0$ , $T > 0$ , $r \in R$ を定数とする。標準正規分布の密度関数と分布関数を
$φ (x) = \frac{1}{2 π} e^{- x^{2} /2}, Φ (x) = \int_{- \infty}^{x} φ (u) d u$
とし、ボラティリティ $σ > 0$ に対するヨーロピアン・コール・オプションのブラック・ショールズ価格を
$C (σ) = S Φ (d_{1}) - K e^{- r T} Φ (d_{2}), d_{1} = \frac{lo g ( S / K ) + ( r + \frac{σ ^{2}}{2} ) T}{σ T}, d_{2} = d_{1} - σ T$
で定める。 $L = max {S - K e^{- r T}, 0}$ とおくとき、写像 $σ \mapsto C (σ)$ は区間 $(0, \infty)$ から開区間 $(L, S)$ への全単射であることを証明せよ（すなわち、 $(L, S)$ に属する各価格 $c$ に対して $C (σ) = c$ となるインプライド・ボラティリティ $σ > 0$ がちょうど 1 つ存在し、 $C$ の値はすべて $(L, S)$ に属する）。

ただし、 $Φ$ は $R$ 上で微分可能で $Φ^{'} = φ$ であること、 $x \to - \infty lim Φ (x) = 0$ , $x \to \infty lim Φ (x) = 1$ , $Φ (0) = \frac{1}{2}$ であること、および平均値の定理・中間値の定理は用いてよい。

この問題で使うもの

ブラック・ショールズ式（説明と入口の問題）
合成関数の微分（説明と入口の問題）
指数関数・対数関数の導関数（説明と入口の問題）
関数の極限（説明と入口の問題）
数列の極限（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（70 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

$C (σ)$ が狭義単調増加であることを導関数（ベガ）の符号で示し、そのうえで $σ \to + 0$ と $σ \to \infty$ の極限を調べて、中間値の定理を使いましょう。

ヒント 2

鍵になるのは $S φ (d_{1}) = K e^{- r T} φ (d_{2})$ という等式です。 $φ (d_{2}) / φ (d_{1}) = exp ((d_{1} - d_{2}) (d_{1} + d_{2}) /2)$ を計算してみましょう。

ヒント 3

上の等式を使うと $C^{'} (σ)$ の 2 つの項がまとまり、 $\frac{\partial}{\partial σ} (d_{1} - d_{2}) = T$ だけが残ります。極限は $x = lo g (S / K) + r T$ とおき、 $d_{1} = \frac{x}{σ T} + \frac{σ T}{2}$ の形で $x$ の符号によって場合分けします。

採点の観点と模範解答

自分で証明を書いてから、採点の観点で見比べてください。

採点の観点を見る

$φ (d_{2}) / φ (d_{1})$ を計算して $S φ (d_{1}) = K e^{- r T} φ (d_{2})$ を導いている（2 点）
連鎖律で $C^{'} (σ)$ を計算し、上の等式で項をまとめて $C^{'} (σ) = S T φ (d_{1}) > 0$ を示し、狭義単調増加（単射）を結論している（3 点）
$σ \to + 0$ の極限を $S$ と $K e^{- r T}$ の大小（ $x$ の符号）で漏れなく場合分けし、 $S = K e^{- r T}$ の場合も含めて極限が $max {S - K e^{- r T}, 0}$ になることを示している（2 点）
$σ \to \infty$ で $d_{1} \to \infty$ , $d_{2} \to - \infty$ から極限が $S$ であることを示している（1 点）
単調性と両端の極限から $C$ の値が端点を含まない $(L, S)$ に入ること、および中間値の定理で各 $c \in (L, S)$ が値としてとられることを示し、全単射と結論している（2 点）

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模範解答を読む

以下、 $x = lo g (S / K) + r T$ とおく。 $e^{x} = \frac{S}{K e ^{- r T}}$ なので、 $x > 0, x = 0, x < 0$ はそれぞれ $S > K e^{- r T}, S = K e^{- r T}, S < K e^{- r T}$ と同値である。また
$d_{1} = \frac{x}{σ T} + \frac{σ T}{2}, d_{2} = \frac{x}{σ T} - \frac{σ T}{2}$
と書ける。 $d_{1}, d_{2}$ は $σ > 0$ の微分可能な関数で、 $Φ$ は微分可能だから、合成関数として $C$ は $(0, \infty)$ で微分可能（特に連続）である。

ステップ 1（補題 $S φ (d_{1}) = K e^{- r T} φ (d_{2})$ ）. $φ$ の定義より
$\frac{φ ( d _{2} )}{φ ( d _{1} )} = exp (\frac{d _{1}^{2} - d _{2}^{2}}{2}) = exp (\frac{( d _{1} - d _{2} ) ( d _{1} + d _{2} )}{2}) .$
ここで $d_{1} - d_{2} = σ T$ , $d_{1} + d_{2} = \frac{2 x}{σ T}$ だから、指数部分は $\frac{1}{2} \cdot σ T \cdot \frac{2 x}{σ T} = x$ である。よって $\frac{φ ( d _{2} )}{φ ( d _{1} )} = e^{x} = \frac{S}{K e ^{- r T}}$ 、すなわち
$K e^{- r T} φ (d_{2}) = S φ (d_{1}) .$

ステップ 2（ $C^{'} (σ) > 0$ ）. 連鎖律と $Φ^{'} = φ$ より
$C^{'} (σ) = S φ (d_{1}) \frac{\partial d _{1}}{\partial σ} - K e^{- r T} φ (d_{2}) \frac{\partial d _{2}}{\partial σ} .$
ステップ 1 を代入すると
$C^{'} (σ) = S φ (d_{1}) (\frac{\partial d _{1}}{\partial σ} - \frac{\partial d _{2}}{\partial σ}) = S φ (d_{1}) \frac{\partial ( d _{1} - d _{2} )}{\partial σ} = S φ (d_{1}) \frac{\partial ( σ T )}{\partial σ} = S T φ (d_{1}) .$
$S > 0$ , $T > 0$ , $φ > 0$ なので、すべての $σ > 0$ で $C^{'} (σ) > 0$ 。 $0 < σ < σ^{'}$ のとき、平均値の定理より $C (σ^{'}) - C (σ) = C^{'} (ξ) (σ^{'} - σ) > 0$ となる $ξ \in (σ, σ^{'})$ があるので、 $C$ は $(0, \infty)$ 上で狭義単調増加である。特に $C$ は単射である。

ステップ 3（ $σ \to + 0$ の極限）. $σ \to + 0$ のとき $σ T /2 \to 0$ である。
- $x > 0$ のとき： $x / (σ T) \to + \infty$ なので $d_{1}, d_{2} \to + \infty$ 。よって $Φ (d_{1}), Φ (d_{2}) \to 1$ で、 $C (σ) \to S - K e^{- r T}$ 。このとき $S - K e^{- r T} > 0$ なので、これは $L$ に等しい。
- $x < 0$ のとき： $x / (σ T) \to - \infty$ なので $d_{1}, d_{2} \to - \infty$ 。よって $Φ (d_{1}), Φ (d_{2}) \to 0$ で、 $C (σ) \to 0$ 。このとき $S - K e^{- r T} < 0$ なので $L = 0$ である。
- $x = 0$ のとき： $d_{1} = σ T /2 \to 0$ , $d_{2} = - σ T /2 \to 0$ で、 $Φ$ は連続だから $C (σ) \to \frac{1}{2} (S - K e^{- r T}) = 0$ （ $S = K e^{- r T}$ のため）。このとき $L = 0$ である。

いずれの場合も $σ \to + 0 lim C (σ) = L$ 。

ステップ 4（ $σ \to \infty$ の極限）. $σ \to \infty$ のとき $x / (σ T) \to 0$ , $σ T /2 \to + \infty$ なので、 $d_{1} \to + \infty$ , $d_{2} \to - \infty$ 。よって $Φ (d_{1}) \to 1$ , $Φ (d_{2}) \to 0$ で、 $σ \to \infty lim C (σ) = S$ 。

ステップ 5（値が $(L, S)$ に入ること）. 任意の $σ_{0} > 0$ をとり、 $0 < σ_{1} < σ_{0}$ を 1 つ固定する。ステップ 2 より、 $0 < σ < σ_{1}$ のすべての $σ$ で $C (σ) < C (σ_{1})$ であり、 $σ \to + 0$ とするとステップ 3 から $L \leq C (σ_{1})$ 。よって $L \leq C (σ_{1}) < C (σ_{0})$ 。同様に $σ_{2} > σ_{0}$ を固定すると、 $σ > σ_{2}$ で $C (σ) > C (σ_{2})$ であり、 $σ \to \infty$ としてステップ 4 から $S \geq C (σ_{2}) > C (σ_{0})$ 。したがって $L < C (σ_{0}) < S$ であり、 $C$ の値はすべて $(L, S)$ に属する。（なお、 $S > 0$ かつ $S > S - K e^{- r T}$ なので $L < S$ であり、 $(L, S)$ は空でない。）

ステップ 6（全射）. $c \in (L, S)$ を任意にとる。ステップ 3 より $lim_{σ \to + 0} C (σ) = L < c$ だから $C (a) < c$ となる $a > 0$ があり、ステップ 4 より $lim_{σ \to \infty} C (σ) = S > c$ だから $C (b) > c$ となる $b > 0$ がある。 $C$ は狭義単調増加なので $C (a) < C (b)$ から $a < b$ 。 $C$ は $[a, b]$ で連続なので、中間値の定理より $C (σ^{*}) = c$ となる $σ^{*} \in (a, b)$ が存在する。

結論. ステップ 5 より $C$ は $(0, \infty)$ を $(L, S)$ の中へ写し、ステップ 2 より単射、ステップ 6 より $(L, S)$ への全射である。よって $σ \mapsto C (σ)$ は $(0, \infty)$ から $(L, S) = (max {S - K e^{- r T}, 0}, S)$ への全単射である。 $■$

この問題の確認

AI が作成した問題です。公開前に次の確認を行いました。

別の AI が模範解答を見ずに 3 回証明を試み、3 回証明できました
2 つの AI が独立に、模範解答の証明を 1 ステップずつ確かめました
AI の査読で、条件・解説・表記を確認しました
答えの正しさについて慎重に扱うべき点が見つからなかったため、自動で公開しました

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