数理ファイナンス・保険数学の問題

ブラック・ショールズ・モデルを考える。配当のない株式の現在の株価は $S_0=100$ 円、ボラティリティ（年率）は $\sigma =0.2$、安全資産の利子率は連続複利で年率 $r=0.04$（一定）とする。リスク中立確率のもとで、満期 $T$ の株価は
$$S_T=S_0\exp \left(\left(r-\frac{{\sigma }^2}{2}\right)T+\sigma \sqrt{T}Z\right),Z\sim N(0,1)$$
と表される。

満期 $T=1$（年）に、株価 $S_T$ が権利行使価格 $K=100$ 円を上回れば $100$ 円を受け取り、そうでなければ何も受け取らないデジタル・コール（キャッシュ・オア・ナッシング型）の現在の価格を求めよ。ただし、標準正規分布の分布関数を $N(x)$ とし、$N(0.1)=0.5398$ を用いてよい。答えは $e$ を含む式のままでよい。

配当のない株式を原資産とするヨーロピアン・プット・オプションを考える。現在の株価は $S_0=100$、権利行使価格は $K=100$、満期までの期間は $T=1$（年）、安全資産の連続複利の利子率は年 $r=0.02$、株価のボラティリティは年 $\sigma =0.2$ である。

ブラック・ショールズ・モデルが成り立つとき、ヨーロピアン・プット・オプションの現在の価格は
$$P=K{e}^{-rT}N(-d_2)-S_{0}N(-d_1),d_1=\frac{\log (S_0/K)+\left(r+\frac{{\sigma }^2}{2}\right)T}{\sigma \sqrt{T}},d_2=d_1-\sigma \sqrt{T}$$
で与えられる。ここで $N(x)$ は標準正規分布の累積分布関数である。

必要なら $N(0)=0.5$、$N(0.2)=0.5793$ を用いて、このプット・オプションの価格 $P$ を求めよ。答えは $e$ を含む形のままでよい。

ブラック・ショールズ・モデルで、配当のない株式を原資産とするヨーロピアン・コール・オプションを考える。現在の株価は $S_0=200$ 円、権利行使価格は $K=200$ 円、満期までの期間は $T=1$ 年、安全資産の利子率は連続複利で年率 $r=0.05$、ボラティリティ（年率）は $\sigma =0.2$ とする。コールの価格は
$$C=S_{0}N(d_1)-K{e}^{-rT}N(d_2),d_1=\frac{\log \frac{S_0}{K}+\left(r+\frac{{\sigma }^2}{2}\right)T}{\sigma \sqrt{T}},d_2=d_1-\sigma \sqrt{T}$$
で与えられる。ここで $N(x)$ は標準正規分布の累積分布関数である。計算には $N(0.35)=0.6368$、$N(0.15)=0.5596$、$e^{-0.05}=0.9512$ を用いよ。このコール・オプションの価格 $C$（円）を、小数第 2 位を四捨五入して小数第 1 位まで求めよ。

$S>0$, $K>0$, $T>0$, $r\in \mathbb{R}$ を定数とする。標準正規分布の密度関数と分布関数を
$$\phi (x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-x^2/2},\Phi (x)={\int }_{-\infty }^x\phi (u)du$$
とし、ボラティリティ $\sigma >0$ に対するヨーロピアン・コール・オプションのブラック・ショールズ価格を
$$C(\sigma )=S\Phi (d_1)-K{e}^{-rT}\Phi (d_2),d_1=\frac{\log (S/K)+\left(r+\frac{{\sigma }^2}{2}\right)T}{\sigma \sqrt{T}},d_2=d_1-\sigma \sqrt{T}$$
で定める。$L=\max \{S-K{e}^{-rT},0\}$ とおくとき、写像 $\sigma \mapsto C(\sigma )$ は区間 $(0,\infty )$ から開区間 $(L,S)$ への全単射であることを証明せよ（すなわち、$(L,S)$ に属する各価格 $c$ に対して $C(\sigma )=c$ となるインプライド・ボラティリティ $\sigma >0$ がちょうど 1 つ存在し、$C$ の値はすべて $(L,S)$ に属する）。

ただし、$\Phi$ は $\mathbb{R}$ 上で微分可能で ${\Phi }^{\prime }=\phi$ であること、$\underset{x\to -\infty }{\lim }\Phi (x)=0$, $\underset{x\to \infty }{\lim }\Phi (x)=1$, $\Phi (0)=\frac{1}{2}$ であること、および平均値の定理・中間値の定理は用いてよい。

利力（連続複利の利率）が満期によらず一定で $\delta =0.05$（年あたり）である市場を考える。すなわち、時刻 $t$（年）に受け取る金額 $1$ の時刻 $0$ における現在価値は $e^{-\delta t}$ である。

ある保険会社は、時刻 $10$ に $1000$ 万円を支払う負債を負っている。この会社は時刻 $0$ に次の 2 種類の資産を購入して負債を免疫化（イミュナイゼーション）したい。

• 資産 A: 時刻 $5$ に額面 $X$ 万円が支払われる割引債（クーポンなし）
• 資産 B: 時刻 $0$ から永久に、年あたり $C$ 万円の一定の速度で連続的に支払いが行われる永久債（時刻 $t$ から $t+dt$ の間に $Cdt$ 万円が支払われる）

資産全体の現在価値と負債の現在価値が等しく、かつ資産全体のマコーレー・デュレーションと負債のマコーレー・デュレーションが等しくなるように $X$ と $C$ を定める。ここで、時刻 $0$ における現在価値が $P>0$ のキャッシュフローのマコーレー・デュレーションとは、各支払いの時刻をその支払いの現在価値で重み付けた平均
$$D=\frac{1}{P}\left(\sum t\cdot (\text{時刻 }t\text{ の支払いの現在価値})\right)$$
（連続的な支払いでは和を積分に置き換える）である。組 $(X,C)$ をこの順に求めよ。