数理ファイナンス・保険数学の問題

ブラック・ショールズ・モデルで、配当のない株式を原資産とするヨーロピアン・コール・オプションを考える。現在の株価は $S_0=200$ 円、権利行使価格は $K=200$ 円、満期までの期間は $T=1$ 年、安全資産の利子率は連続複利で年率 $r=0.05$、ボラティリティ（年率）は $\sigma =0.2$ とする。コールの価格は
$$C=S_{0}N(d_1)-K{e}^{-rT}N(d_2),d_1=\frac{\log \frac{S_0}{K}+\left(r+\frac{{\sigma }^2}{2}\right)T}{\sigma \sqrt{T}},d_2=d_1-\sigma \sqrt{T}$$
で与えられる。ここで $N(x)$ は標準正規分布の累積分布関数である。計算には $N(0.35)=0.6368$、$N(0.15)=0.5596$、$e^{-0.05}=0.9512$ を用いよ。このコール・オプションの価格 $C$（円）を、小数第 2 位を四捨五入して小数第 1 位まで求めよ。

配当のない株式を原資産とするヨーロピアン・プット・オプションを考える。現在の株価は $S_0=100$、権利行使価格は $K=100$、満期までの期間は $T=1$（年）、安全資産の連続複利の利子率は年 $r=0.02$、株価のボラティリティは年 $\sigma =0.2$ である。

ブラック・ショールズ・モデルが成り立つとき、ヨーロピアン・プット・オプションの現在の価格は
$$P=K{e}^{-rT}N(-d_2)-S_{0}N(-d_1),d_1=\frac{\log (S_0/K)+\left(r+\frac{{\sigma }^2}{2}\right)T}{\sigma \sqrt{T}},d_2=d_1-\sigma \sqrt{T}$$
で与えられる。ここで $N(x)$ は標準正規分布の累積分布関数である。

必要なら $N(0)=0.5$、$N(0.2)=0.5793$ を用いて、このプット・オプションの価格 $P$ を求めよ。答えは $e$ を含む形のままでよい。

ブラック・ショールズ・モデルを考える。配当のない株式の現在の株価は $S_0=100$ 円、ボラティリティ（年率）は $\sigma =0.4$ である。安全資産の利子率は連続複利で年率 $r=0.08$ であり、期間によらず一定とする。

この株式を原資産とする、行使価格 $K=100$ 円、満期 $T=0.25$ 年（$3$ か月）のヨーロピアン・プット・オプションの現在の価格（円）を、ブラック・ショールズ式を用いて求めよ。

ただし、$N(x)$ を標準正規分布の累積分布関数とし、計算には次の値を用いよ。
$$N(0.2)=0.5793,N(0)=0.5,e^{-0.02}=0.9802$$

ブラック・ショールズ・モデルを考える。配当のない株式の時刻 $t$ における価格 $S_t$ は、リスク中立確率測度 $Q$ のもとで
$$S_t=S_0\exp \left(\left(r-\frac{{\sigma }^2}{2}\right)t+\sigma W_t\right)(t\ge 0)$$
に従う。ここで $W_t$ は $Q$ のもとでの標準ブラウン運動であり、$S_0=100$、安全利子率（連続複利）は $r=0.05$、ボラティリティは $\sigma =0.2$ である。

満期 $T=1$（年）に、$S_T>K$ ならば $S_T^2$ 円、$S_T\le K$ ならば $0$ 円を受け取る派生証券がある。ここで $K=100e^{0.03}$ である。この派生証券の時刻 $0$ における無裁定価格 $V$ は、満期の受取額を $e^{-rT}$ で割り引いた $Q$ のもとでの期待値で与えられる。

標準正規分布の累積分布関数を $N(x)$ とし、$N(0.4)=0.6554$、$e^{0.09}=1.0942$ として、$V$ を小数第 1 位を四捨五入して整数で求めよ。

2 期間の二項モデルを考える。時刻 $0$ の株価は $S_0=100$ である。各期に株価は $u=\frac{11}{10}$ 倍になるか $d=\frac{9}{10}$ 倍になるかのどちらかであり、どちらも正の確率で起こる。安全資産の 1 期間あたりの利子率は $r=\frac{1}{20}$ である。市場に裁定機会はなく、株式には配当がないものとする。

満期が時刻 $2$、行使価格が $K=100$ のヨーロピアン・プット・オプション（満期の株価を $S_2$ とすると、満期に $\max (K-S_2,0)$ を受け取れる権利）の時刻 $0$ における無裁定価格を求めよ。