数理ファイナンス・保険数学の問題

手順 1：リスク中立確率を求める。

$$q=\frac{1+r-d}{u-d}=\frac{\frac{21}{20}-\frac{9}{10}}{\frac{11}{10}-\frac{9}{10}}=\frac{\frac{3}{20}}{\frac{1}{5}}=\frac{3}{4},1-q=\frac{1}{4}$$

$0<q<1$ なので、このモデルには裁定機会がない。

手順 2：満期の株価とペイオフを求める。

2 期間のうち上昇が $k$ 回のとき $S_2=100u^k{d}^{2-k}$ である。

• $k=2$: $S_2=100\cdot \frac{121}{100}=121$、ペイオフ $\max (100-121,0)=0$
• $k=1$: $S_2=100\cdot \frac{99}{100}=99$、ペイオフ $\max (100-99,0)=1$
• $k=0$: $S_2=100\cdot \frac{81}{100}=81$、ペイオフ $\max (100-81,0)=19$

手順 3：満期から 1 期ずつ後ろ向きにたどる。

時刻 $1$ で株価が $110$ のとき、次の時刻の値は $0$（上昇）か $1$（下落）なので
$$P_u=\frac{\frac{3}{4}\cdot 0+\frac{1}{4}\cdot 1}{\frac{21}{20}}=\frac{1}{4}\cdot \frac{20}{21}=\frac{5}{21}$$
時刻 $1$ で株価が $90$ のとき、次の時刻の値は $1$（上昇）か $19$（下落）なので
$$P_d=\frac{\frac{3}{4}\cdot 1+\frac{1}{4}\cdot 19}{\frac{21}{20}}=\frac{11}{2}\cdot \frac{20}{21}=\frac{110}{21}$$
時刻 $0$ の価格は
$$P_0=\frac{\frac{3}{4}\cdot \frac{5}{21}+\frac{1}{4}\cdot \frac{110}{21}}{\frac{21}{20}}=\frac{\frac{15+110}{84}}{\frac{21}{20}}=\frac{125}{84}\cdot \frac{20}{21}=\frac{625}{441}$$

（確認）二項分布の和の公式でも計算する。
$$P_0=\frac{1}{(1+r{)}^2}\sum _{k=0}^2{}_2{\mathrm{C}}_k{q}^k(1-q{)}^{2-k}\max (K-S_0{u}^k{d}^{2-k},0)$$
$$=\frac{1}{{\left(\frac{21}{20}\right)}^2}\left(0+2\cdot \frac{3}{4}\cdot \frac{1}{4}\cdot 1+\frac{1}{16}\cdot 19\right)=\frac{400}{441}\cdot \frac{6+19}{16}=\frac{400}{441}\cdot \frac{25}{16}=\frac{625}{441}$$

よって無裁定価格は $\frac{625}{441}(\approx 1.417)$ である。

リスク中立確率を $q$ とすると、$q=\frac{(1+r)-d}{u-d}=\frac{1.05-0.9}{1.1-0.9}=\frac{3}{4}$、$1-q=\frac{1}{4}$。

満期の株価とプットの支払い:
- $S_2=121$（uu）: 支払い $0$、確率 $q^2=\frac{9}{16}$
- $S_2=99$（ud, du）: 支払い $\max (100-99,0)=1$、確率 $2q(1-q)=\frac{6}{16}$
- $S_2=81$（dd）: 支払い $19$、確率 $(1-q{)}^2=\frac{1}{16}$

リスク中立期待値は $\frac{6}{16}\cdot 1+\frac{1}{16}\cdot 19=\frac{25}{16}$。

割引くと $\frac{25}{16}\cdot \frac{1}{(1.05{)}^2}=\frac{25}{16}\cdot \frac{400}{441}=\frac{10000}{7056}=\frac{625}{441}$。

検算（後ろ向き帰納法）: 時刻1で S=110 のとき、プット価値は $\frac{1}{1.05}\left(\frac{3}{4}\cdot 0+\frac{1}{4}\cdot 1\right)=\frac{1}{4.2}=\frac{5}{21}$。S=90 のとき、$\frac{1}{1.05}\left(\frac{3}{4}\cdot 1+\frac{1}{4}\cdot 19\right)=\frac{1}{1.05}\cdot \frac{22}{4}=\frac{5.5}{1.05}=\frac{110}{21}$。時刻0では $\frac{1}{1.05}\left(\frac{3}{4}\cdot \frac{5}{21}+\frac{1}{4}\cdot \frac{110}{21}\right)=\frac{1}{1.05}\cdot \frac{15+110}{84}=\frac{20}{21}\cdot \frac{125}{84}=\frac{2500}{1764}=\frac{625}{441}$。一致する。

よって価格は $\frac{625}{441}\approx 1.417$。