多期間二項モデルのヨーロピアン・オプション

二項ツリーを満期から後ろ向きにたどる（または二項分布の和 $\frac{1}{( 1 + r ) ^{n}} \sum_{k}_{n} C_{k} q^{k} (1 - q)^{n - k} f (S_{0} u^{k} d^{n - k})$ を使う）ことで、多期間のヨーロピアン・オプションの価格を求められる

前提

1 期間二項モデルとリスク中立確率（大学数学数理ファイナンス・保険数学）
二項分布（数学B 統計的な推測）

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算数中学高校大学大学院

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二項分布（数学B 統計的な推測）

説明

1 期間二項モデルの考え方を何期間も繰り返すことで、満期までに株価が $n$ 回上下するモデルのもとでヨーロピアン・オプション（満期の時点でだけ権利を行使できるオプション）の無裁定価格を求められるようになります。満期での受取額から 1 期ずつ現在へさかのぼる方法（後ろ向き帰納法）と、二項分布を使って一度に計算する公式の 2 通りがあります。コール・オプションやプット・オプションの価格計算、さらに連続時間モデルへの近似の土台として使います。

なぜそうしてよいのか

モデルの設定は次のとおりです。各期で株価は $u$ 倍（上昇）か $d$ 倍（下落）になり、1 期あたりの安全利子率は $r$ で、 $0 < d < 1 + r < u$ を仮定します。このとき $q = \frac{1 + r - d}{u - d}$ は $0 < q < 1$ を満たします。ツリーのどの節点（ある時点のある株価）から見ても、次の期に起こるのは「 $u$ 倍か $d$ 倍か」の 2 通りだけなので、そこだけを切り出すと 1 期間二項モデルそのものです。したがって、次の時点の 2 つの節点でのオプションの価値 $C_{上}, C_{下}$ がわかっていれば、その節点での無裁定価値は $\frac{q C _{上} + ( 1 - q ) C _{下}}{1 + r}$ と決まります。満期ではオプションの価値は受取額 $f (S_{n})$ そのものとしてわかっているので、満期から 1 期ずつさかのぼれば時点 0 の価格が求まります。各節点で 1 期間の複製ポートフォリオを組み直していけば満期の受取額を複製できるので、この価格からずれると裁定が生じます。

この計算を式で展開すると、1 期さかのぼるたびに「確率 $q$ と $1 - q$ で重みをつけて平均し、 $1 + r$ で割る」ことを $n$ 回繰り返すことになります。その結果、時点 0 の価格は、上昇を確率 $q$ 、下落を確率 $1 - q$ とする独立な $n$ 回の試行で満期の受取額の期待値をとり、 $(1 + r)^{n}$ で割ったものになります。さらに $u d = d u$ なので、満期の株価は上昇の順番によらず、上昇回数 $k$ だけで $S_{0} u^{k} d^{n - k}$ と決まります。上昇がちょうど $k$ 回になる確率は二項分布 $B (n, q)$ の確率 $_{n} C_{k} q^{k} (1 - q)^{n - k}$ です。

よって満期の受取額が満期の株価だけで決まるヨーロピアン・オプションの価格は $C_{0} = \frac{1}{( 1 + r ) ^{n}} k = 0 \sum n_{n} C_{k} q^{k} (1 - q)^{n - k} f (S_{0} u^{k} d^{n - k})$ となります。ここで $q$ は現実の上昇確率ではなく、無裁定の条件から決まる「リスク中立確率」である点が重要です。

手順

パラメータ $S_{0}, u, d, r, n$ と満期の受取額 $f$ を確認し、 $d < 1 + r < u$ を確かめてリスク中立確率 $q = \frac{1 + r - d}{u - d}$ を計算する
満期の株価 $S_{0} u^{k} d^{n - k}$ （ $k = 0, 1, \dots, n$ は上昇回数）をすべて書き出す
満期での受取額 $f (S_{0} u^{k} d^{n - k})$ を各 $k$ について計算する（例：コールなら $max (S - K, 0)$ 、プットなら $max (K - S, 0)$ ）
後ろ向きにたどる場合：各節点で $C = \frac{q C _{上} + ( 1 - q ) C _{下}}{1 + r}$ を計算し、時点 0 まで 1 期ずつさかのぼる
公式を使う場合： $C_{0} = \frac{1}{( 1 + r ) ^{n}} \sum_{k = 0}^{n}_{n} C_{k} q^{k} (1 - q)^{n - k} f (S_{0} u^{k} d^{n - k})$ を計算する（受取額が 0 の項は省略してよい）。両方の方法で計算して結果を照らし合わせると検算になる

例題

3 期間二項モデルで、現在の株価を $S_{0} = 8$ 、各期の上昇率を $u = 2$ 、下落率を $d = \frac{1}{2}$ 、1 期あたりの安全利子率を $r = \frac{1}{4}$ とする。満期（3 期後）に $max (S_{3} - 10, 0)$ を受け取るヨーロピアン・コール・オプションの現在の無裁定価格を求めよ。

例題の解答

【手順1】 $1 + r = \frac{5}{4}$ で、 $d = \frac{1}{2} < \frac{5}{4} < 2 = u$ を満たす。リスク中立確率は $q = \frac{\frac{5}{4} - \frac{1}{2}}{2 - \frac{1}{2}} = \frac{\frac{3}{4}}{\frac{3}{2}} = \frac{1}{2}$ 、 $1 - q = \frac{1}{2}$ である。
【手順2】満期の株価は、上昇回数 $k = 3, 2, 1, 0$ に対して $8 \cdot 2^{3} = 64$ 、 $8 \cdot 2^{2} \cdot \frac{1}{2} = 16$ 、 $8 \cdot 2 \cdot \frac{1}{4} = 4$ 、 $8 \cdot \frac{1}{8} = 1$ である。
【手順3】受取額は $max (S_{3} - 10, 0)$ より、順に $54, 6, 0, 0$ である。
【手順4】後ろ向きにたどる。1 期さかのぼるごとに「2 つの値の平均を $\frac{5}{4}$ で割る」ことになる。時点 2 では、株価 32 の節点が $\frac{\frac{1}{2} ( 54 + 6 )}{\frac{5}{4}} = 24$ 、株価 8 の節点が $\frac{\frac{1}{2} ( 6 + 0 )}{\frac{5}{4}} = 2.4$ 、株価 2 の節点が 0 である。時点 1 では、株価 16 の節点が $\frac{\frac{1}{2} ( 24 + 2.4 )}{\frac{5}{4}} = 10.56$ 、株価 4 の節点が $\frac{\frac{1}{2} ( 2.4 + 0 )}{\frac{5}{4}} = 0.96$ である。時点 0 では $\frac{\frac{1}{2} ( 10.56 + 0.96 )}{\frac{5}{4}} = \frac{5.76}{1.25} = 4.608$ となる。
【手順5】公式で検算する。 $C_{0} = \frac{1}{( 5/4 ) ^{3}} (_{3} C_{3} (\frac{1}{2})^{3} \cdot 54 +_{3} C_{2} (\frac{1}{2})^{3} \cdot 6) = \frac{64}{125} \cdot \frac{54 + 18}{8} = \frac{64}{125} \cdot 9 = \frac{576}{125}$ である。 $\frac{576}{125} = 4.608$ なので、後ろ向きの計算と一致する。

答え: $\frac{576}{125}$

よくある誤り

割引を 1 回分しかしない誤り。正しくは $n$ 期分を割り引いて $\frac{1}{( 1 + r ) ^{n}}$ を掛ける（例題では $\frac{9}{5/4}$ ではなく $\frac{9}{( 5/4 ) ^{3}} = \frac{576}{125}$ ）。
二項係数 $_{n} C_{k}$ を落として $\sum q^{k} (1 - q)^{n - k} f (\dots)$ としてしまう誤り。上昇 $k$ 回に至る経路は $_{n} C_{k}$ 通りあるので、正しくは $_{n} C_{k} q^{k} (1 - q)^{n - k}$ で重みをつける（例題の $k = 2$ の項は $\frac{1}{8} \cdot 6$ ではなく $3 \cdot \frac{1}{8} \cdot 6$ ）。
問題に現実の上昇確率 $p$ が与えられているとき、それで期待値をとってしまう誤り。正しくは、無裁定価格の計算には $p$ を使わず、リスク中立確率 $q = \frac{1 + r - d}{u - d}$ を使う。
満期の株価の期待値を先に求めてから受取額に代入し、 $f (E [S_{n}])$ としてしまう誤り。正しくは $E [f (S_{n})]$ を計算する。例題では $E [S_{3}] = 8 \cdot (\frac{5}{4})^{3} = 15.625$ なので $max (15.625 - 10, 0) = 5.625$ となり、これを割り引いても $\frac{5.625}{( 5/4 ) ^{3}} = 2.88$ で、正しい値 $\frac{576}{125} = 4.608$ とは一致しない。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

アメリカン・オプションの価格（大学数学数理ファイナンス・保険数学）