数理ファイナンス・保険数学の問題

2 期間の二項モデルを考える。時刻 $0$ の株価は $S_0=40$ である。各期に株価は $u=\frac{3}{2}$ 倍になるか $d=\frac{1}{2}$ 倍になるかのどちらかであり、どちらも正の確率で起こる。安全資産の 1 期間あたりの利子率は $r=\frac{1}{4}$ である。市場には裁定機会がなく、取引費用や配当はないものとする。満期が時刻 $2$、行使価格が $K=40$ のヨーロピアン・プット・オプション（満期の受け取り額が $\max (K-S_2,0)$）の時刻 $0$ における無裁定価格を求めよ。

2 期間の二項モデルを考える。時刻 $0$ の株価は $S_0=100$ である。各期に株価は $u=\frac{11}{10}$ 倍になるか $d=\frac{9}{10}$ 倍になるかのどちらかであり、どちらも正の確率で起こる。安全資産の 1 期間あたりの利子率は $r=\frac{1}{20}$ である。市場に裁定機会はなく、株式には配当がないものとする。

満期が時刻 $2$、行使価格が $K=100$ のヨーロピアン・プット・オプション（満期の株価を $S_2$ とすると、満期に $\max (K-S_2,0)$ を受け取れる権利）の時刻 $0$ における無裁定価格を求めよ。

2 期間の二項モデルを考える。時刻 $0$ の株価は $S_0=64$ である。各期に株価は $u=\frac{5}{4}$ 倍になるか $d=\frac{3}{4}$ 倍になるかのどちらかであり、どちらも正の確率で起こる。安全資産の 1 期間あたりの利子率は $r=\frac{1}{8}$ である。満期を時刻 $2$、行使価格を $K=72$ とするヨーロピアン・プット・オプション（満期の支払いは $\max (K-S_2,0)$）の時刻 $0$ における無裁定価格を求めよ。

2 期間の二項モデルを考える。時刻 $0$ の株価は $S_0=100$ であり、各期に株価は $u=1.25$ 倍になるか $d=0.8$ 倍になるかのどちらかである（どちらも正の確率で起こる）。安全資産の 1 期あたりの利子率は $r=0.05$（1 期ごとの複利）で一定とする。株式は配当を支払わず、取引費用はなく、空売りや任意の量の売買ができ、裁定機会はないものとする。

この株式を原資産とする、行使価格 $K=100$、満期が時刻 $2$ のアメリカン・プット・オプションがある。このオプションの保有者は、時刻 $0,1,2$ のいずれかで権利を行使でき、時刻 $t$ に行使すると $\max (K-S_t,0)$ を受け取る。

このアメリカン・プット・オプションの時刻 $0$ における価格を、既約分数で求めよ。

2 期間の二項モデルを考える。時刻 $0$ の株価は $S_0=80$ であり、各期に株価は $u=\frac{3}{2}$ 倍になるか $d=\frac{1}{2}$ 倍になるかのどちらかである（どちらも正の確率で起こる）。安全資産の 1 期あたりの利子率は $r=\frac{1}{4}$ である。取引費用や配当はなく、市場に裁定機会はないものとする。

行使価格 $K=80$、満期が時刻 $2$ のアメリカン・プット・オプションを考える。このオプションは時刻 $0,1,2$ のどの時点でも行使でき、株価 $S$ のときに行使すると $\max (K-S,0)$ を受け取る。このアメリカン・プットの時刻 $0$ における無裁定価格を求めよ。