数理ファイナンス・保険数学の問題

2 期間の二項モデルを考える。時刻 $0$ の株価は $S_0=36$ である。各期に株価は $u=\frac{3}{2}$ 倍になるか $d=\frac{2}{3}$ 倍になるかのどちらかであり、どちらも正の確率で起こる。安全資産の 1 期あたりの利子率は $r=\frac{1}{6}$ とする。株は配当を支払わず、取引費用はないものとする。

行使価格 $K=40$、満期が時刻 $2$ のアメリカン・プット・オプションを考える。このオプションは時刻 $0,1,2$ のいずれかで 1 回だけ行使でき、時刻 $t$ に行使すると $\max (K-S_t,0)$ を受け取る。ここで $S_t$ は時刻 $t$ の株価である。このオプションの時刻 $0$ における無裁定価格を求めよ。

2 期間の二項モデルを考える。時刻 $0$ の株価は $S_0=60$ であり、各期に株価は $u=\frac{3}{2}$ 倍になるか $d=\frac{1}{2}$ 倍になるかのどちらかである（どちらも正の確率で起こる）。安全資産の 1 期あたりの利子率は $r=\frac{1}{5}$ とする。

行使価格 $K=60$、満期を時刻 $2$ とするアメリカン・プット・オプションを考える。このオプションは時刻 $0,1,2$ のいずれかで 1 回だけ行使でき、行使すると $K-S$ を受け取る（$S$ はその時点の株価）。このオプションの時刻 $0$ における無裁定価格を求めよ。

2 期間の二項モデルを考える。時刻 $0$ の株価は $S_0=40$ である。各期に株価は $u=\frac{3}{2}$ 倍になるか $d=\frac{1}{2}$ 倍になるかのどちらかであり、どちらも正の確率で起こる。安全資産の 1 期間あたりの利子率は $r=\frac{1}{4}$ である。市場には裁定機会がなく、取引費用や配当はないものとする。満期が時刻 $2$、行使価格が $K=40$ のヨーロピアン・プット・オプション（満期の受け取り額が $\max (K-S_2,0)$）の時刻 $0$ における無裁定価格を求めよ。

2 期間の二項モデルを考える。時刻 $0$ の株価は $S_0=100$ である。各期に株価は $u=\frac{11}{10}$ 倍になるか $d=\frac{9}{10}$ 倍になるかのどちらかであり、どちらも正の確率で起こる。安全資産の 1 期間あたりの利子率は $r=\frac{1}{20}$ である。市場に裁定機会はなく、株式には配当がないものとする。

満期が時刻 $2$、行使価格が $K=100$ のヨーロピアン・プット・オプション（満期の株価を $S_2$ とすると、満期に $\max (K-S_2,0)$ を受け取れる権利）の時刻 $0$ における無裁定価格を求めよ。

2 期間の二項モデルを考える。時刻 $0$ の株価は $S_0=64$ である。各期に株価は $u=\frac{5}{4}$ 倍になるか $d=\frac{3}{4}$ 倍になるかのどちらかであり、どちらも正の確率で起こる。安全資産の 1 期間あたりの利子率は $r=\frac{1}{8}$ である。満期を時刻 $2$、行使価格を $K=72$ とするヨーロピアン・プット・オプション（満期の支払いは $\max (K-S_2,0)$）の時刻 $0$ における無裁定価格を求めよ。