数理ファイナンス・保険数学の問題

手順 1: リスク中立確率を求める。
$d<1+r<u$（$\frac{1}{2}<\frac{6}{5}<\frac{3}{2}$）なので裁定機会はなく、リスク中立確率は
$$q=\frac{1+r-d}{u-d}=\frac{\frac{6}{5}-\frac{1}{2}}{\frac{3}{2}-\frac{1}{2}}=\frac{7}{10}$$
である（上昇の確率 $q=\frac{7}{10}$、下落の確率 $1-q=\frac{3}{10}$）。1 期分の割引係数は $\frac{1}{1+r}=\frac{5}{6}$ である。

手順 2: 株価のツリーを作る。
- 時刻 $1$: $S_u=90$, $S_d=30$
- 時刻 $2$: $S_{uu}=135$, $S_{ud}=45$, $S_{dd}=15$

手順 3: 満期（時刻 $2$）の価値。 満期では行使するかしないかだけなので、価値は $\max (K-S,0)$ である。
$$P_{uu}=\max (60-135,0)=0,P_{ud}=\max (60-45,0)=15,P_{dd}=\max (60-15,0)=45$$

手順 4: 時刻 $1$ の各節点で「即時行使の価値」と「継続価値」を比べる。 アメリカン・オプションの各節点の価値は、その場で行使したときの受取額と、行使せずに持ち続けたときの価値（リスク中立確率による期待値を割り引いたもの）の大きい方である。

節点 $u$（$S_u=90$）:
- 継続価値: $\frac{5}{6}\left(\frac{7}{10}\cdot 0+\frac{3}{10}\cdot 15\right)=\frac{5}{6}\cdot \frac{9}{2}=\frac{15}{4}$
- 即時行使の価値: $\max (60-90,0)=0$
- よって $P_u=\frac{15}{4}$（行使しない）

節点 $d$（$S_d=30$）:
- 継続価値: $\frac{5}{6}\left(\frac{7}{10}\cdot 15+\frac{3}{10}\cdot 45\right)=\frac{5}{6}\left(\frac{21}{2}+\frac{27}{2}\right)=\frac{5}{6}\cdot 24=20$
- 即時行使の価値: $60-30=30$
- よって $P_d=\max (30,20)=30$（ここで早期行使するのが最適）

手順 5: 時刻 $0$ の節点。
- 継続価値: $\frac{5}{6}\left(\frac{7}{10}\cdot \frac{15}{4}+\frac{3}{10}\cdot 30\right)=\frac{5}{6}\left(\frac{21}{8}+9\right)=\frac{5}{6}\cdot \frac{93}{8}=\frac{465}{48}=\frac{155}{16}$
- 即時行使の価値: $\max (60-60,0)=0$
- よって $P_0=\frac{155}{16}$

したがって、このアメリカン・プットの無裁定価格は $\frac{155}{16}(=9.6875)$ である。

（参考: 同じ条件のヨーロピアン・プットでは節点 $d$ の価値が $20$ のままなので、$\frac{5}{6}\left(\frac{21}{8}+\frac{3}{10}\cdot 20\right)=\frac{115}{16}$ となり、早期行使できる分だけアメリカン・プットの方が高い。）

リスク中立確率は $p=\frac{(1+r)-d}{u-d}=\frac{1.2-0.5}{1}=\frac{7}{10}$、$q=\frac{3}{10}$ である。

株価は、時刻 1 で $90,30$、時刻 2 で $135,45,15$ となる。

時刻 2 のプットの価値（$K-S$ と 0 の大きい方）は、$S=135$ で 0、$S=45$ で 15、$S=15$ で 45 である。

時刻 1 では、継続価値と即時行使価値を比べて大きい方をとる。
- $S_1=90$: 継続価値は $\frac{0.7\cdot 0+0.3\cdot 15}{1.2}=3.75$、即時行使価値は $0$。よって価値は $3.75$。
- $S_1=30$: 継続価値は $\frac{0.7\cdot 15+0.3\cdot 45}{1.2}=\frac{24}{1.2}=20$、即時行使価値は $60-30=30$。$30>20$ なので早期行使が最適で、価値は $30$。

時刻 0 では、継続価値は $\frac{0.7\cdot 3.75+0.3\cdot 30}{1.2}=\frac{2.625+9}{1.2}=9.6875$、即時行使価値は $0$。よって価値は $9.6875=\frac{155}{16}$ である。

検算として、$9.6875\times 16=155$ となり、$\frac{155}{16}$ と一致する。

（参考）ヨーロピアン・プットの価値は $\frac{0.49\cdot 0+0.42\cdot 15+0.09\cdot 45}{1.44}=\frac{10.35}{1.44}=7.1875$ で、アメリカン・プットの価値はこれより大きい。