数理ファイナンス・保険数学の問題

1 期間の二項モデルを考える。時刻 $0$ の株価は $S_0=50$ であり、時刻 $1$ の株価は $u=1.2$ 倍になるか $d=0.9$ 倍になるかのどちらかである（どちらも正の確率で起こる）。安全資産の 1 期間の利子率は $r=0.05$ である。この株を原資産とし、満期が時刻 $1$、行使価格が $K=50$ のヨーロピアン・プット・オプション（満期の受取額が $\max (K-S_1,0)$）の時刻 $0$ における無裁定価格を求めよ。

1 期間の二項モデルを考える。時刻 $0$ の株価は $S_0=80$ であり、時刻 $1$ の株価は $S_1=100$ または $S_1=60$ のどちらかになる（どちらも正の確率で起こる）。安全資産の 1 期間の利子率は $r=0.05$ である。この株式を原資産とし、満期が時刻 $1$、行使価格が $K=90$ のヨーロピアン・プット・オプション（満期の支払いが $\max (K-S_1,0)$）の、無裁定条件のもとでの時刻 $0$ の価格を求めよ。

2 期間の二項モデルを考える。時刻 $0$ の株価は $S_0=64$ である。各期に株価は $u=\frac{5}{4}$ 倍になるか $d=\frac{3}{4}$ 倍になるかのどちらかであり、どちらも正の確率で起こる。安全資産の 1 期間あたりの利子率は $r=\frac{1}{8}$ である。満期を時刻 $2$、行使価格を $K=72$ とするヨーロピアン・プット・オプション（満期の支払いは $\max (K-S_2,0)$）の時刻 $0$ における無裁定価格を求めよ。

2 期間の二項モデルを考える。時刻 $0$ の株価は $S_0=40$ である。各期に株価は $u=\frac{3}{2}$ 倍になるか $d=\frac{1}{2}$ 倍になるかのどちらかであり、どちらも正の確率で起こる。安全資産の 1 期間あたりの利子率は $r=\frac{1}{4}$ である。市場には裁定機会がなく、取引費用や配当はないものとする。満期が時刻 $2$、行使価格が $K=40$ のヨーロピアン・プット・オプション（満期の受け取り額が $\max (K-S_2,0)$）の時刻 $0$ における無裁定価格を求めよ。

2 期間の二項モデルを考える。時刻 $0$ の株価は $S_0=100$ である。各期に株価は $u=\frac{11}{10}$ 倍になるか $d=\frac{9}{10}$ 倍になるかのどちらかであり、どちらも正の確率で起こる。安全資産の 1 期間あたりの利子率は $r=\frac{1}{20}$ である。市場に裁定機会はなく、株式には配当がないものとする。

満期が時刻 $2$、行使価格が $K=100$ のヨーロピアン・プット・オプション（満期の株価を $S_2$ とすると、満期に $\max (K-S_2,0)$ を受け取れる権利）の時刻 $0$ における無裁定価格を求めよ。