アメリカン・オプションの価格

二項ツリーの各節点で「即時行使の価値」と「継続価値」の大きい方をとって後ろ向きに計算し、アメリカン・プットの無裁定価格を求められる

前提

多期間二項モデルのヨーロピアン・オプション（大学数学数理ファイナンス・保険数学）

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算数中学高校大学大学院

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多期間二項モデルのヨーロピアン・オプション（大学数学数理ファイナンス・保険数学）

説明

アメリカン・オプションは、満期までの好きな時点で権利を行使できるオプションです。この技能では、二項ツリーを満期から後ろ向きにたどり、各節点で「今すぐ行使したときの価値」と「行使せずに持ち続けたときの価値」の大きい方を採用して、アメリカン・プットの無裁定価格を求めます。ヨーロピアン・オプションの計算に、各節点で 1 回比較を加えるだけで計算できます。株価が大きく下がった節点では、満期を待たずに行使する方が得になります（早期行使）。その節点を見つけることも、この計算の大切な目的です。

なぜそうしてよいのか

時点 $n$ のある節点で、まだ行使していないアメリカン・プット（行使価格 $K$ ）の保有者を考えます。選べる行動は 2 つです。1 つは今すぐ行使して $(K - S_{n})^{+} = max (K - S_{n}, 0)$ を受け取ること（即時行使の価値 $E_{n}$ ）です。もう 1 つは行使せずに次の時点へ持ち越すことです。持ち越すと、次の時点ではその節点でのオプションの価値 $V_{n + 1}$ （上昇なら $V^{u}$ 、下落なら $V^{d}$ ）を持つことになります。この「次の時点で $V^{u}$ か $V^{d}$ を受け取る権利」は、1 期間二項モデルと同じく株と預金で複製できます。したがってその無裁定価格は、リスク中立確率 $q$ で期待値をとって割り引いた値 $C_{n} = \frac{q V ^{u} + ( 1 - q ) V ^{d}}{1 + r}$ です。これを継続価値と呼びます。

保有者は 2 つのうち得な方を選べるので、オプションの価値は $V_{n} = max (E_{n}, C_{n})$ になります。この値と無裁定の関係は次のとおりです。価格が $E_{n}$ より安ければ、オプションを買ってすぐ行使するだけで利益が出るので裁定機会が生じます。価格が $C_{n}$ より安い場合も、オプションを買って持ち越し、複製ポートフォリオを売れば裁定になります。逆に売り手は、元手 $V_{n}$ で次の時点に $V_{n + 1}$ 以上の価値をもつ複製ポートフォリオを作れるので、保有者がいつ行使しても支払いに対応できます。以上から、無裁定価格はちょうど $max (E_{n}, C_{n})$ です。

この比較を満期から時点 $0$ まですべての節点で行います。途中の節点の値を $max$ で置き換えたうえで、その値を使って一つ前の節点を計算します。このため、早期行使の権利の価値が時点 $0$ まで正しく伝わります。ヨーロピアン・オプションとの違いは「途中で $max$ をとるかどうか」だけです。

手順

条件 $d < 1 + r < u$ を確かめ、リスク中立確率 $q = \frac{1 + r - d}{u - d}$ を求める（このとき $0 < q < 1$ ）。
株価のツリーを作る。時点 $j$ で上昇 $k$ 回の節点の株価は $S_{0} u^{k} d^{j - k}$ 。
満期 $N$ の各節点でオプションの価値を $V_{N} = (K - S_{N})^{+} = max (K - S_{N}, 0)$ とする。
一つ前の時点の各節点で、継続価値 $C = \frac{q V ^{u} + ( 1 - q ) V ^{d}}{1 + r}$ と即時行使の価値 $E = (K - S)^{+}$ を計算し、 $V = max (E, C)$ とする（ $E > C$ の節点では早期行使するのが最適）。
手順 4 を時点 $0$ まで繰り返す。得られた $V_{0}$ がアメリカン・プットの無裁定価格である。

例題

2 期間二項モデルで、株価の初期値を $S_{0} = 4$ 、上昇率を $u = 2$ 、下落率を $d = \frac{1}{2}$ 、1 期間の利子率を $r = \frac{1}{4}$ とする。満期を時点 $2$ 、行使価格を $K = 5$ とするアメリカン・プットの時点 $0$ での無裁定価格を求めよ。

例題の解答

【手順 1】 $d = 0.5 < 1 + r = 1.25 < u = 2$ なので条件を満たす。 $q = \frac{1.25 - 0.5}{2 - 0.5} = \frac{1}{2}$ 。
【手順 2】時点 $1$ の株価は $8, 2$ 、時点 $2$ の株価は $16, 4, 1$ 。
【手順 3】満期の価値は $(5 - 16)^{+} = 0$ 、 $(5 - 4)^{+} = 1$ 、 $(5 - 1)^{+} = 4$ 。
【手順 4】時点 $1$ を計算する。
・ $S = 8$ の節点：継続価値 $C = \frac{\frac{1}{2} \cdot 0 + \frac{1}{2} \cdot 1}{1.25} = 0.4$ 、即時行使の価値 $E = (5 - 8)^{+} = 0$ 。よって $V = max (0, 0.4) = 0.4$ 。
・ $S = 2$ の節点：継続価値 $C = \frac{\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot 4}{1.25} = 2$ 、即時行使の価値 $E = (5 - 2)^{+} = 3$ 。よって $V = max (3, 2) = 3$ 。この節点では早期行使が最適。
【手順 5】時点 $0$ を計算する。継続価値 $C = \frac{\frac{1}{2} \cdot 0.4 + \frac{1}{2} \cdot 3}{1.25} = \frac{1.7}{1.25} = 1.36$ 、即時行使の価値 $E = (5 - 4)^{+} = 1$ 。よって $V_{0} = max (1, 1.36) = 1.36$ 。
（参考：同じ条件のヨーロピアン・プットは $0.96$ である。差の $0.4$ が早期行使の権利の価値になる。）

答え: $1.36$

よくある誤り

ヨーロピアンの二項分布の和の公式をそのまま使ってしまう誤り。上の例では $\frac{1}{1.2 5 ^{2}} (\frac{1}{4} \cdot 0 + \frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{4} \cdot 4) = 0.96$ になる。正しくは、途中の各節点で $max (E, C)$ をとりながら後ろ向きに計算し、 $1.36$ を得る。
時点 $0$ でだけ即時行使と比べてしまう誤り。例では $max (1, 0.96) = 1$ になる。正しくは途中の節点（例では $S = 2$ の節点）で値を $max (3, 2) = 3$ に置き換え、その値を使って前の節点を計算する。
継続価値を割り引かずに比べてしまう誤り。例の時点 $0$ で $q V^{u} + (1 - q) V^{d} = 1.7$ をそのまま使ってしまう。正しくは $1 + r$ で割った $C = \frac{1.7}{1.25} = 1.36$ を即時行使の価値と比べる。
現実の上昇確率 $p$ で期待値をとってしまう誤り、またはプットの行使価値を $(S - K)^{+}$ としてしまう誤り。正しくは期待値にリスク中立確率 $q = \frac{1 + r - d}{u - d}$ を使い、プットの即時行使の価値は $(K - S)^{+}$ である。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

アメリカン・オプションの価格

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