数理ファイナンス・保険数学の問題

1. リスク中立確率を求める

$d<1+r<u$ が成り立つので裁定機会はなく、リスク中立確率は
$$q=\frac{1+r-d}{u-d}=\frac{\frac{7}{6}-\frac{2}{3}}{\frac{3}{2}-\frac{2}{3}}=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{5}{6}}=\frac{3}{5}$$
である。よって $1-q=\frac{2}{5}$、割引の係数は $\frac{1}{1+r}=\frac{6}{7}$ である。

2. 株価のツリーを書く

• 時刻 $1$: $S_u=36\cdot \frac{3}{2}=54$, $S_d=36\cdot \frac{2}{3}=24$
• 時刻 $2$: $S_{uu}=81$, $S_{ud}=36$, $S_{dd}=16$

3. 満期（時刻 $2$）のプットの価値

満期では価値は $\max (40-S_2,0)$ である。

• $P_{uu}=\max (40-81,0)=0$
• $P_{ud}=\max (40-36,0)=4$
• $P_{dd}=\max (40-16,0)=24$

4. 時刻 $1$ の各節点：即時行使の価値と継続価値の大きい方をとる

アメリカン・オプションの保有者は各時点で行使するか持ち続けるかを選べるので、各節点の価値は「即時行使の価値」と「継続価値（次の時点の価値のリスク中立期待値を割り引いたもの）」の大きい方になる。

株価 $54$ の節点では、
- 継続価値: $\frac{6}{7}\left(\frac{3}{5}\cdot 0+\frac{2}{5}\cdot 4\right)=\frac{6}{7}\cdot \frac{8}{5}=\frac{48}{35}$
- 即時行使の価値: $\max (40-54,0)=0$

よって $P_u=\frac{48}{35}$ である。

株価 $24$ の節点では、
- 継続価値: $\frac{6}{7}\left(\frac{3}{5}\cdot 4+\frac{2}{5}\cdot 24\right)=\frac{6}{7}\left(\frac{12}{5}+\frac{48}{5}\right)=\frac{6}{7}\cdot 12=\frac{72}{7}$
- 即時行使の価値: $\max (40-24,0)=16$

$16>\frac{72}{7}\approx 10.29$ なので $P_d=16$ となり、ここでは早期行使するのが最適である。

5. 時刻 $0$ の節点

- 継続価値:
$$\frac{6}{7}\left(\frac{3}{5}\cdot \frac{48}{35}+\frac{2}{5}\cdot 16\right)=\frac{6}{7}\left(\frac{144}{175}+\frac{1120}{175}\right)=\frac{6}{7}\cdot \frac{1264}{175}=\frac{7584}{1225}$$
- 即時行使の価値: $\max (40-36,0)=4$

$\frac{7584}{1225}\approx 6.19>4$ なので、$P_0=\frac{7584}{1225}$ である。

答え: $\frac{7584}{1225}$

リスク中立確率は $q=\frac{1+r-d}{u-d}=\frac{7/6-2/3}{3/2-2/3}=\frac{3}{5}$（下落確率は $\frac{2}{5}$）。割引係数は $\frac{1}{1+r}=\frac{6}{7}$。二項モデルは完備なので、アメリカン・オプションの無裁定価格は、各節点で「行使価値」と「継続価値」の大きい方を取る後ろ向き帰納法（スネル包絡）で求まる。

株価は、時刻1で $54$（上昇）または $24$（下落）、時刻2で $81,36,16$ となる。
時刻2のペイオフは、$S_2=81$ で $0$、$S_2=36$ で $4$、$S_2=16$ で $24$。

時刻1、$S_1=54$ の節点:
継続価値は $\frac{6}{7}\left(\frac{3}{5}\cdot 0+\frac{2}{5}\cdot 4\right)=\frac{48}{35}$、行使価値は $0$。よって価値は $\frac{48}{35}$。

時刻1、$S_1=24$ の節点:
継続価値は $\frac{6}{7}\left(\frac{3}{5}\cdot 4+\frac{2}{5}\cdot 24\right)=\frac{6}{7}\cdot 12=\frac{72}{7}\approx 10.29$、行使価値は $40-24=16$。早期行使が有利なので価値は $16$。

時刻0:
継続価値は $\frac{6}{7}\left(\frac{3}{5}\cdot \frac{48}{35}+\frac{2}{5}\cdot 16\right)=\frac{6}{7}\left(\frac{144}{175}+\frac{1120}{175}\right)=\frac{6}{7}\cdot \frac{1264}{175}=\frac{7584}{1225}\approx 6.19$。
行使価値は $40-36=4$ で、継続価値の方が大きい。

よって時刻0の価格は $\frac{7584}{1225}$。

検算: $7584=2^5\cdot 3\cdot 79$、$1225=5^2\cdot 7^2$ で約分できない。ヨーロピアン・プットの価値は $\frac{36}{49}\left(\frac{12}{25}\cdot 4+\frac{4}{25}\cdot 24\right)=\frac{36}{49}\cdot \frac{144}{25}\approx 4.23$ で、アメリカン価格 $6.19$ はこれより大きく、整合的である。