数理ファイナンス・保険数学の問題

3 期間の二項モデルを考える。時刻 $0$ の株価は $S_0=64$ であり、各期に株価は $u=\frac{3}{2}$ 倍になるか $d=\frac{3}{4}$ 倍になるかのどちらかである（どちらも正の確率で起こる）。安全資産の 1 期あたりの利子率は $r=\frac{1}{8}$ で一定とし、株式は配当を支払わず、取引費用はなく、株式・安全資産は任意の量を売買（空売りを含む）できるものとする。

この株式を原資産とする、行使価格 $K=80$、満期が時刻 $3$ のアメリカン・プット・オプションを考える。このオプションの保有者は、時刻 $0,1,2,3$ のどれか $1$ つの時点で権利を行使でき、時刻 $n$ に行使すると $K-S_n$ を受け取る（$S_n$ は時刻 $n$ の株価。$K-S_n\le 0$ のときは行使しない）。裁定機会がないとき、このオプションの時刻 $0$ における価格を求めよ。

2 期間の二項モデルを考える。時刻 $0$ の株価は $S_0=100$ であり、各期に株価は $u=1.25$ 倍に上昇するか、$d=0.8$ 倍に下落するかのどちらかになる（どちらも正の確率で起こる）。安全資産の 1 期あたりの利子率は $r=0.05$（1 期ごとの複利）で一定とし、株式に配当はなく、取引費用はかからず、裁定機会はないものとする。

この株式を原資産とし、行使価格 $K=100$、満期を時刻 $2$ とするアメリカン・プット・オプションを考える。このオプションの保有者は、時刻 $0,1,2$ のいずれかの時点で 1 回だけ権利を行使でき、時刻 $t$ に行使すると $K-S_t$ と $0$ のうち大きい方、すなわち $\max (K-S_t,0)$ を受け取る（$S_t$ は時刻 $t$ の株価）。保有者は最適に行使するものとする。

リスク中立確率を用いて、このオプションの時刻 $0$ における価格を求めよ。答えは既約分数で答えよ。

3 期間の二項モデルを考える。時刻 $0$ の株価は $S_0=80$ であり、各期に株価は $u=1.5$ 倍になるか $d=0.5$ 倍になるかのどちらかである（どちらも正の確率で起こる）。安全資産の 1 期あたりの利子率は $r=0.1$ で一定とし、取引費用はなく、株式は配当を支払わないものとする。

この株式を原資産とし、権利行使価格 $K=80$、満期を時刻 $3$ とするアメリカン・プット・オプションを考える。このオプションの保有者は、時刻 $0,1,2,3$ のいずれか 1 つの時点で権利を行使し、その時点の株価 $S_t$ に対して $\max (K-S_t,0)$ を受け取ることができる。

裁定機会が存在しないとき、このオプションの時刻 $0$ における価格を求めよ。

2 期間の二項モデルを考える。時刻 $0$ の株価は $S_0=100$ であり、各期に株価は確率 $p$（$0<p<1$）で $u=1.2$ 倍に、確率 $1-p$ で $d=0.9$ 倍になる。安全資産の 1 期あたりの利子率は $r=0.05$ で、1 期ごとに複利で $1+r$ 倍になる。配当はなく、取引費用はなく、市場に裁定機会はないものとする。

この株式を原資産とし、権利行使価格 $K=100$、満期を時刻 $2$ とするアメリカン・プット・オプション（時刻 $0,1,2$ のいずれかで権利行使でき、行使すると $K-S_t$ を受け取る）の時刻 $0$ における無裁定価格を求めよ。

2 期間の二項モデルを考える。時刻 $0$ の株価は $S_0=36$ である。各期に株価は $u=\frac{3}{2}$ 倍になるか $d=\frac{2}{3}$ 倍になるかのどちらかであり、どちらも正の確率で起こる。安全資産の 1 期あたりの利子率は $r=\frac{1}{6}$ とする。株は配当を支払わず、取引費用はないものとする。

行使価格 $K=40$、満期が時刻 $2$ のアメリカン・プット・オプションを考える。このオプションは時刻 $0,1,2$ のいずれかで 1 回だけ行使でき、時刻 $t$ に行使すると $\max (K-S_t,0)$ を受け取る。ここで $S_t$ は時刻 $t$ の株価である。このオプションの時刻 $0$ における無裁定価格を求めよ。