数理ファイナンス・保険数学の問題

難易度 3期末試験の応用レベル証明問題大学数学数理ファイナンス・保険数学

$n$ を正の整数とし、時点 $k = 0, 1, \dots, n$ （年）に実数のキャッシュフロー $C_{k}$ が生じる投資を考える（ $C_{k} < 0$ は支出、 $C_{k} > 0$ は収入を表す）。年複利の利率 $i > - 1$ に対する正味現在価値を
$NPV (i) = k = 0 \sum n \frac{C _{k}}{( 1 + i ) ^{k}}$
とする。ある整数 $m$ （ $1 \leq m \leq n$ ）があって、次の 4 条件が成り立つとする（支出がすべて収入より前に起こる投資）。
$C_{0} < 0, C_{k} \leq 0 (1 \leq k \leq m - 1), C_{k} \geq 0 (m \leq k \leq n - 1), C_{n} > 0$
ただし、 $m = 1$ のとき 2 番目の条件、 $m = n$ のとき 3 番目の条件は対象となる $k$ がないので、条件を課さないものとする。このとき、方程式 $NPV (i) = 0$ を満たす $i \in (- 1, \infty)$ （内部収益率）はちょうど 1 つ存在し、さらにその $i$ が正であるための必要十分条件は $k = 0 \sum n C_{k} > 0$ であることを証明せよ。

ただし、中間値の定理は用いてよい。

この問題で使うもの

複利と現在価値（説明と入口の問題）
関数の極限（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（19 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

$v = 1/ (1 + i)$ とおいて多項式 $f (v) = \sum C_{k} v^{k}$ の正の零点を調べます。そのままでは単調とは限らないので、正の関数で割って単調な関数に直し、中間値の定理を使いましょう。

ヒント 2

$g (v) = f (v) / v^{m} = \sum C_{k} v^{k - m}$ を考えます。 $k < m$ の項は $C_{k} \leq 0$ と $v^{k - m}$ の減少、 $k > m$ の項は $C_{k} \geq 0$ と $v^{k - m}$ の増加から、各項がどちら向きに動くかを見てください。

ヒント 3

$g$ が狭義単調増加であることを各項の比較で示したら、 $v \to + 0$ では $C_{0} v^{- m} \to - \infty$ が効くこと、 $v \to \infty$ では $C_{n} > 0$ が効くこと（ $m = n$ と $m < n$ で場合分け）を確かめます。正であるかどうかは $g (1)$ の符号と比べます。

採点の観点と模範解答

自分で証明を書いてから、採点の観点で見比べてください。

採点の観点を見る

$v = 1/ (1 + i)$ により $(- 1, \infty)$ と $(0, \infty)$ を 1 対 1 に対応させ、 $i > 0 ⟺ v < 1$ を述べて問題を $v$ の関数の零点の問題に言い換えている（1 点）
$f (v) / v^{m}$ のように符号を変えない正の関数で割り、各項の増減を $C_{k}$ の符号と指数の符号から調べて、 $C_{0} < 0$ の項によって狭義単調増加であることを示している（3 点）
$v \to + 0$ で負になることを $C_{0} v^{- m} \to - \infty$ と他の項の上からの評価で示している（2 点）
十分大きい $v$ で正になることを、 $m < n$ と $m = n$ の場合分けをして $C_{n} > 0$ から示し、中間値の定理と単射性で零点がただ 1 つであると結論している（2 点）
$g (1) = \sum C_{k}$ と単調性を使い、零点が $1$ より小さいこと（ $i > 0$ ）と $\sum C_{k} > 0$ の同値性を両方向とも示している（2 点）

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模範解答を読む

準備（符号条件のまとめと変数変換）. 仮定から、 $0 \leq k \leq m - 1$ では $C_{k} \leq 0$ （特に $C_{0} < 0$ ）、 $m \leq k \leq n$ では $C_{k} \geq 0$ （特に $C_{n} > 0$ ）である。以下ではこの形で使う。

$v = \frac{1}{1 + i}$ とおくと、 $i \mapsto v$ は $(- 1, \infty)$ から $(0, \infty)$ への狭義単調減少な全単射で、逆写像は $i = \frac{1}{v} - 1$ である。 $NPV (i) = f (v)$ , $f (v) = k = 0 \sum n C_{k} v^{k}$ となる。さらに $v > 0$ に対して
$g (v) = \frac{f ( v )}{v ^{m}} = k = 0 \sum n C_{k} v^{k - m}$
とおく。 $v^{m} > 0$ なので、 $v > 0$ について $f (v) = 0 ⟺ g (v) = 0$ である。また $i > 0 ⟺ 0 < v < 1$ である。よって「 $g$ は $(0, \infty)$ にちょうど 1 つの零点 $v^{*}$ をもつ」こと、および「 $v^{*} < 1 ⟺ \sum_{k = 0}^{n} C_{k} > 0$ 」を示せばよい。

ステップ 1（ $g$ は狭義単調増加で連続）. $0 < v < v^{'}$ とする。各 $k$ について $C_{k} v^{' k - m} - C_{k} v^{k - m} \geq 0$ を示す。
- $0 \leq k \leq m - 1$ のとき： $k - m < 0$ なので $v^{' k - m} < v^{k - m}$ 。 $C_{k} \leq 0$ だから $C_{k} v^{' k - m} \geq C_{k} v^{k - m}$ 。特に $k = 0$ では $C_{0} < 0$ なので $C_{0} v^{' - m} > C_{0} v^{- m}$ （狭義）。
- $k = m$ のとき： $C_{m} v^{0} = C_{m}$ で一定。
- $m + 1 \leq k \leq n$ のとき： $k - m > 0$ なので $v^{' k - m} > v^{k - m}$ 。 $C_{k} \geq 0$ だから $C_{k} v^{' k - m} \geq C_{k} v^{k - m}$ 。

これらを $k = 0, \dots, n$ について足すと、 $k = 0$ の項が狭義の不等式なので $g (v^{'}) > g (v)$ 。よって $g$ は $(0, \infty)$ で狭義単調増加である。また $g$ は $v$ の整数べき（負の指数を含む）の有限和なので $(0, \infty)$ で連続である。

ステップ 2（ $v \to + 0$ で $g (v) \to - \infty$ ）. $0 < v \leq 1$ とする。 $1 \leq k \leq m - 1$ の項は $C_{k} \leq 0$ より $C_{k} v^{k - m} \leq 0$ 。 $m \leq k \leq n$ の項は $0 < v^{k - m} \leq 1$ と $C_{k} \geq 0$ より $C_{k} v^{k - m} \leq C_{k}$ 。よって
$g (v) \leq C_{0} v^{- m} + k = m \sum n C_{k} .$
$C_{0} < 0$ , $m \geq 1$ なので $v \to + 0$ で $v^{- m} \to + \infty$ 、右辺 $\to - \infty$ 。ゆえに $g (v) \to - \infty$ であり、 $g (a) < 0$ となる $a > 0$ が存在する。

ステップ 3（十分大きい $v$ で $g (v) > 0$ ）. $v \to \infty$ を考える。 $0 \leq k \leq m - 1$ の項は $k - m < 0$ より $C_{k} v^{k - m} \to 0$ 。
- $m < n$ のとき： $m \leq k \leq n - 1$ の項は $\geq 0$ なので $g (v) \geq \sum_{k = 0}^{m - 1} C_{k} v^{k - m} + C_{n} v^{n - m}$ 。 $C_{n} > 0$ , $n - m \geq 1$ より $C_{n} v^{n - m} \to + \infty$ なので、右辺 $\to + \infty$ 。
- $m = n$ のとき： $g (v) = \sum_{k = 0}^{n - 1} C_{k} v^{k - n} + C_{n} \to C_{n} > 0$ 。

いずれの場合も $g (b) > 0$ となる $b > 0$ が存在する。

ステップ 4（零点の存在と一意性）. ステップ 1 より $g$ は狭義単調増加なので、 $g (a) < 0 < g (b)$ から $a < b$ である（ $a \geq b$ なら $g (a) \geq g (b)$ となり矛盾）。 $g$ は $[a, b]$ で連続なので、中間値の定理より $g (v^{*}) = 0$ となる $v^{*} \in (a, b)$ が存在する。また $g$ は狭義単調増加だから単射で、零点は $v^{*}$ ただ 1 つである。準備の対応により、 $NPV (i) = 0$ を満たす $i \in (- 1, \infty)$ は $i^{*} = \frac{1}{v ^{*}} - 1$ ただ 1 つである。

ステップ 5（ $i^{*} > 0$ の条件）. $g (1) = \sum_{k = 0}^{n} C_{k}$ である。 $i^{*} > 0 ⟺ v^{*} < 1$ であり、 $g$ は狭義単調増加で $g (v^{*}) = 0$ だから
- $v^{*} < 1$ ならば $g (1) > g (v^{*}) = 0$ 、
- $v^{*} \geq 1$ ならば $g (1) \leq g (v^{*}) = 0$

である。よって $v^{*} < 1 ⟺ g (1) > 0$ 、すなわち $i^{*} > 0 ⟺ \sum_{k = 0}^{n} C_{k} > 0$ 。

結論. 仮定のもとで、 $NPV (i) = 0$ を満たす $i \in (- 1, \infty)$ はちょうど 1 つ存在し、それが正であることと $\sum_{k = 0}^{n} C_{k} > 0$ は同値である。 $■$

この問題の確認

AI が作成した問題です。公開前に次の確認を行いました。

別の AI が模範解答を見ずに 3 回証明を試み、3 回証明できました
2 つの AI が独立に、模範解答の証明を 1 ステップずつ確かめました
AI の査読で、条件・解説・表記を確認しました
答えの正しさについて慎重に扱うべき点が見つからなかったため、自動で公開しました

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