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数理ファイナンス・保険数学の問題

難易度 3期末試験の応用レベル証明問題大学数学数理ファイナンス・保険数学

正の整数 $ω$ と、 $0$ 以上の整数 $y$ に対して定まる生存数 $l_{y}$ をもつ生命表を考える。 $l_{y}$ は $0 \leq y \leq ω - 1$ で正、 $y \geq ω$ で $l_{y} = 0$ であり、 $l_{0} \geq l_{1} \geq \dots \geq l_{ω}$ を満たすとする。死亡数を $d_{y} = l_{y} - l_{y + 1}$ と定める。予定利率を $i > 0$ とし、 $v = \frac{1}{1 + i}$ 、 $d = 1 - v$ とおく。

$0$ 以上の整数 $x$ と正の整数 $n$ を $x + n \leq ω$ を満たすようにとる。 $x$ 歳の人が加入する保険期間 $n$ 年の養老保険（期間内に死亡すればその年度末に $1$ を支払い、 $n$ 年後に生存していれば満期に $1$ を支払う）の一時払純保険料と、期始払い・期間 $n$ 年の生命年金（各年度の始めに生存していれば $1$ を支払う）の現価を、それぞれ
$A = \frac{1}{l _{x}} (k = 0 \sum n - 1 v^{k + 1} d_{x + k} + v^{n} l_{x + n}), a ¨ = \frac{1}{l _{x}} k = 0 \sum n - 1 v^{k} l_{x + k}$
で定める。このとき
$A = 1 - d a ¨$
が成り立つことを証明せよ。

この問題で使うもの

保険・生命年金の現価と純保険料（説明と入口の問題）
等差・等比数列の和と Σ（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（29 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

両辺に $l_{x}$ を掛けて、 $l_{x} A$ を生存数 $l_{x + k}$ だけの和で書き直し、年金の和 $\sum v^{k} l_{x + k}$ と比べましょう。

ヒント 2

$d_{x + k} = l_{x + k} - l_{x + k + 1}$ を代入すると和が 2 つに分かれます。片方は $v$ をくくり出し、もう片方は添字を $1$ ずらすと、どちらも年金の和で表せます。

ヒント 3

$S = \sum_{k = 0}^{n - 1} v^{k} l_{x + k}$ とおくと、 $\sum_{k = 0}^{n - 1} v^{k + 1} l_{x + k} = v S$ 、 $\sum_{k = 0}^{n - 1} v^{k + 1} l_{x + k + 1} = (S - l_{x}) + v^{n} l_{x + n}$ となります。あとは満期の項がどうなるかを見ます。

採点の観点と模範解答

自分で証明を書いてから、採点の観点で見比べてください。

採点の観点を見る

$l_{x} > 0$ を確認し、両辺に $l_{x}$ を掛けた形 $l_{x} A = l_{x} - d \sum v^{k} l_{x + k}$ を示せばよいと方針を立てている（1 点）
$d_{x + k} = l_{x + k} - l_{x + k + 1}$ を代入して $l_{x} A$ を生存数の 2 つの和と満期の項に分けている（2 点）
第 1 の和から $v$ をくくり出して $v \sum_{k = 0}^{n - 1} v^{k} l_{x + k}$ と表している（2 点）
第 2 の和の添字を 1 ずらし、 $k = 0$ の項 $l_{x}$ と $k = n$ の項 $v^{n} l_{x + n}$ を正しく処理して年金の和で表している（3 点）
満期の項が打ち消し合うことを確かめ、 $1 - v = d$ を使って $l_{x}$ で割り、 $A = 1 - d a ¨$ と結論している（2 点）

結果を記録する（このブラウザにだけ保存されます）:

模範解答を読む

準備. $x + n \leq ω$ かつ $n \geq 1$ なので $x \leq ω - 1$ であり、仮定から $l_{x} > 0$ である。よって $A$ と $a ¨$ は定義されている。両辺に $l_{x}$ を掛けた
$l_{x} A = l_{x} - d k = 0 \sum n - 1 v^{k} l_{x + k}$
を示せばよい。以下 $S = k = 0 \sum n - 1 v^{k} l_{x + k}$ とおく（ $S = l_{x} a ¨$ ）。

ステップ 1（死亡数を生存数で書き直す）. $d_{x + k} = l_{x + k} - l_{x + k + 1}$ を代入すると
$l_{x} A = k = 0 \sum n - 1 v^{k + 1} l_{x + k} - k = 0 \sum n - 1 v^{k + 1} l_{x + k + 1} + v^{n} l_{x + n} .$

ステップ 2（各和を $S$ で表す）. 第 1 項は
$k = 0 \sum n - 1 v^{k + 1} l_{x + k} = v k = 0 \sum n - 1 v^{k} l_{x + k} = v S .$
第 2 項は $j = k + 1$ と添字をずらすと
$k = 0 \sum n - 1 v^{k + 1} l_{x + k + 1} = j = 1 \sum n v^{j} l_{x + j} = j = 1 \sum n - 1 v^{j} l_{x + j} + v^{n} l_{x + n} .$
さらに $S$ の $k = 0$ の項は $v^{0} l_{x} = l_{x}$ なので、 $j = 1 \sum n - 1 v^{j} l_{x + j} = S - l_{x}$ である（ $n = 1$ のときは左辺は空和で $0$ 、右辺も $S = l_{x}$ より $0$ で成り立つ）。よって第 2 項は $S - l_{x} + v^{n} l_{x + n}$ に等しい。

ステップ 3（まとめる）. ステップ 1 に代入すると
$l_{x} A = v S - (S - l_{x} + v^{n} l_{x + n}) + v^{n} l_{x + n} = l_{x} - (1 - v) S = l_{x} - d S .$
満期の項 $v^{n} l_{x + n}$ はちょうど打ち消し合う。

結論. 両辺を $l_{x} > 0$ で割ると、 $S / l_{x} = a ¨$ より
$A = 1 - d a ¨$
が成り立つ。 $■$

（補足：この式から、年払平準純保険料 $P = A / a ¨$ について $P = \frac{1}{a ¨} - d$ も得られる。）

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