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数理ファイナンス・保険数学の問題

難易度 1教科書の例題レベル大学数学数理ファイナンス・保険数学

確率変数 $Z$ が標準正規分布 $N (0, 1)$ に従うとする。すなわち、 $Z$ の確率密度関数は
$f (z) = \frac{1}{2 π} e^{- \frac{z ^{2}}{2}} (- \infty < z < \infty)$
である。このとき、確率変数
$Y = e^{1 + 3 Z}$
の期待値 $E [Y]$ を求めよ。

この問題で使うもの

対数正規分布の期待値（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（67 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

技能「対数正規分布の期待値」の公式 $E [e^{a Z}] = e^{a^{2} /2}$ を使います。まず $Y = e \cdot e^{3 Z}$ と分けましょう。

ヒント 2

$E [e^{3 Z}] = \frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{\infty} e^{- \frac{z ^{2}}{2} + 3 z} d z$ の指数部分を平方完成します。

ヒント 3

$- \frac{z ^{2}}{2} + 3 z = - \frac{( z - 3 ) ^{2}}{2} + \frac{9}{2}$ より、 $u = z - 3$ と置換すると残りの積分は標準正規分布の密度の全積分 $1$ になります。

答えと解説

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e^{\frac{11}{2}}

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解説を読む

方針 $Y = e^{1} \cdot e^{3 Z}$ なので、期待値の線形性より $E [Y] = e E [e^{3 Z}]$ です。 $E [e^{a Z}]$ を、密度関数の指数部分を平方完成して計算します。

$E [e^{a Z}]$ の計算 連続型確率変数の関数の期待値の定義より
$E [e^{a Z}] = \int_{- \infty}^{\infty} e^{a z} \cdot \frac{1}{2 π} e^{- \frac{z ^{2}}{2}} d z = \frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{\infty} e^{- \frac{z ^{2}}{2} + a z} d z .$
指数部分を平方完成すると
$- \frac{z ^{2}}{2} + a z = - \frac{( z - a ) ^{2}}{2} + \frac{a ^{2}}{2}$
となるので
$E [e^{a Z}] = e^{\frac{a ^{2}}{2}} \cdot \frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{\infty} e^{- \frac{( z - a ) ^{2}}{2}} d z .$
ここで $u = z - a$ と置換すると $d u = d z$ で、積分範囲は $- \infty$ から $\infty$ のまま変わらず、
$\frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{\infty} e^{- \frac{u ^{2}}{2}} d u = 1$
（標準正規分布の密度の全積分。ガウス積分 $\int_{- \infty}^{\infty} e^{- x^{2}} d x = π$ で $u = 2 x$ と置けば確かめられる）。したがって
$E [e^{a Z}] = e^{\frac{a ^{2}}{2}} .$

代入 $a = 3$ とすると $E [e^{3 Z}] = e^{\frac{9}{2}}$ 。よって
$E [Y] = e \cdot e^{\frac{9}{2}} = e^{1 + \frac{9}{2}} = e^{\frac{11}{2}} .$

（注意： $E [Y]$ は $e^{E [1 + 3 Z]} = e^{1}$ ではありません。指数の中のばらつきにより $e^{\frac{9}{2}}$ 倍だけ大きくなります。）

別解

$E [Y] = e E [e^{3 Z}]$ である。標準正規分布のモーメント母関数は $E [e^{tZ}] = e^{t^{2} /2}$ で、 $t = 3$ のとき $e^{9/2}$ となる。

確認として、 $\int_{- \infty}^{\infty} \frac{1}{2 π} e^{3 z - z^{2} /2} d z$ を計算する。平方完成すると $3 z - z^{2} /2 = - \frac{( z - 3 ) ^{2}}{2} + \frac{9}{2}$ となる。 $N (3, 1)$ の密度の積分は 1 だから、積分値は $e^{9/2}$ である。

よって $E [Y] = e \cdot e^{9/2} = e^{11/2}$ となる。

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