この問題は、利用者からの報告を受けて確認中です。答えや解説に誤りがあるかもしれません。

数理ファイナンス・保険数学の問題

難易度 1教科書の例題レベル大学数学数理ファイナンス・保険数学

確率変数 $Z$ は標準正規分布 $N (0, 1)$ に従うとする。確率変数 $X$ を
$X = 2 e^{3 Z - 1}$
で定めるとき、 $X$ の期待値 $E [X]$ を求めよ。

この問題で使うもの

対数正規分布の期待値（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（67 技能）

算数中学高校大学大学院

読み込み中…

右端（太枠）がこの問題で使う技能です。左へドラッグすると、さらに前の前提をさかのぼれます。技能を押すと、そこまでの道筋が光ります。

一覧で見る（前提が先）

ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

「対数正規分布の期待値」の技能、すなわち $Z \sim N (0, 1)$ に対する公式 $E [e^{a Z}] = e^{a^{2} /2}$ を使います。まず $X$ を「定数 $\times e^{a Z}$ 」の形に書き直しましょう。

ヒント 2

$X = 2 e^{- 1} e^{3 Z}$ と書けます。 $E [e^{3 Z}] = \int_{- \infty}^{\infty} \frac{1}{2 π} e^{- \frac{z ^{2}}{2} + 3 z} d z$ の指数を平方完成します。

ヒント 3

$- \frac{z ^{2}}{2} + 3 z = - \frac{1}{2} (z - 3)^{2} + \frac{9}{2}$ なので、 $u = z - 3$ と置換すれば残りの積分は標準正規分布の密度の積分（ $= 1$ ）になり、 $E [e^{3 Z}] = e^{9/2}$ です。あとは定数 $2 e^{- 1}$ を掛けます。

答えと解説

答えを見る

2 e^{\frac{7}{2}}

結果を記録する（このブラウザにだけ保存されます）:

解説を読む

方針　 $X$ は $e^{a Z}$ の定数倍なので、公式 $E [e^{a Z}] = e^{a^{2} /2}$ を $a = 3$ として使います。ここでは公式そのものも密度関数の積分から導きます。

ステップ 1：定数を外に出す

$X = 2 e^{3 Z - 1} = 2 e^{- 1} e^{3 Z}$ であり、 $2 e^{- 1}$ は定数なので、期待値の線形性より
$E [X] = 2 e^{- 1} E [e^{3 Z}] .$

ステップ 2： $E [e^{3 Z}]$ を積分で書く

$Z$ の確率密度関数は $φ (z) = \frac{1}{2 π} e^{- z^{2} /2}$ なので
$E [e^{3 Z}] = \int_{- \infty}^{\infty} e^{3 z} \cdot \frac{1}{2 π} e^{- z^{2} /2} d z = \int_{- \infty}^{\infty} \frac{1}{2 π} e^{- \frac{z ^{2}}{2} + 3 z} d z .$

ステップ 3：指数部分を平方完成する

$- \frac{z ^{2}}{2} + 3 z = - \frac{1}{2} (z^{2} - 6 z) = - \frac{1}{2} (z - 3)^{2} + \frac{9}{2} .$
よって
$E [e^{3 Z}] = e^{\frac{9}{2}} \int_{- \infty}^{\infty} \frac{1}{2 π} e^{- \frac{( z - 3 ) ^{2}}{2}} d z .$

ステップ 4：置換して密度の積分 $= 1$ を使う

$u = z - 3$ と置換すると $d u = d z$ で、積分範囲は $- \infty$ から $\infty$ のままなので
$\int_{- \infty}^{\infty} \frac{1}{2 π} e^{- \frac{( z - 3 ) ^{2}}{2}} d z = \int_{- \infty}^{\infty} \frac{1}{2 π} e^{- \frac{u ^{2}}{2}} d u = 1.$
(標準正規分布の密度を全体で積分すると 1 になる。)
したがって $E [e^{3 Z}] = e^{\frac{9}{2}}$ であり、これは公式 $E [e^{a Z}] = e^{a^{2} /2}$ で $a = 3$ とした値と一致します。

ステップ 5：まとめる
$E [X] = 2 e^{- 1} \cdot e^{\frac{9}{2}} = 2 e^{\frac{9}{2} - 1} = 2 e^{\frac{7}{2}} .$

答え： $E [X] = 2 e^{\frac{7}{2}}$

別解

$E [e^{tZ}] = e^{t^{2} /2}$ （標準正規分布のモーメント母関数）である。 $t = 3$ とすると $E [e^{3 Z}] = e^{9/2}$ 。したがって $E [X] = 2 e^{- 1} E [e^{3 Z}] = 2 e^{- 1} e^{9/2} = 2 e^{7/2}$ 。

検算：平方完成により $\int \frac{1}{2 π} e^{3 z - z^{2} /2} d z = e^{9/2} \int \frac{1}{2 π} e^{- (z - 3)^{2} /2} d z = e^{9/2}$ となり、上の結果と一致する。

数理ファイナンス・保険数学の問題

この問題で使うもの

ヒント

答えと解説

次のおすすめ

この問題の確認

間違いを報告する

関連する問題