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数理ファイナンス・保険数学の問題

難易度 2教科書の演習問題レベル大学数学数理ファイナンス・保険数学

年利率 $5%$ （1 年ごとの複利）が将来にわたって一定である市場を考える。ある基金は、いまから $2$ 年後、 $4$ 年後、 $6$ 年後、 $\dots$ と、 $2$ 年ごとに $10$ 万円ずつを永久に支払い続ける。この支払いの、現時点（時刻 $0$ ）における現在価値の総和を $X$ 万円とする。 $X$ を既約分数で求めよ。

この問題で使うもの

複利と現在価値（説明と入口の問題）
無限等比級数と無限級数（説明と入口の問題）
年金現価とローン返済（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（20 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

時刻 $2, 4, 6, \dots$ の各支払いを現在価値に直して足し合わせます。

ヒント 2

時刻 $2 k$ の $10$ 万円の現在価値は $10 (1.05)^{- 2 k}$ 万円で、これは公比 $(1.05)^{- 2}$ の無限等比級数になります。

ヒント 3

$X = 10 \cdot \frac{v ^{2}}{1 - v ^{2}} = \frac{10}{( 1.05 ) ^{2} - 1}$ （ $v = 1/1.05$ ）まで変形できます。

答えと解説

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\frac{4000}{41}

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解説を読む

現価率を $v = \frac{1}{1.05}$ とする。時刻 $2 k$ （ $k = 1, 2, 3, \dots$ ）に支払われる $10$ 万円の現在価値は $10 v^{2 k}$ 万円であるから
$X = k = 1 \sum \infty 10 v^{2 k} = 10 \cdot \frac{v ^{2}}{1 - v ^{2}}$
となる（公比 $v^{2}$ は $0 < v^{2} < 1$ なので無限等比級数は収束する）。分母分子を $v^{2}$ で割ると
$X = \frac{10}{v ^{- 2} - 1} = \frac{10}{( 1.05 ) ^{2} - 1} = \frac{10}{1.1025 - 1} = \frac{10}{0.1025}$
である。 $0.1025 = \frac{1025}{10000} = \frac{41}{400}$ なので
$X = 10 \times \frac{400}{41} = \frac{4000}{41}$
を得る（約 $97.56$ 万円）。

（別解）2 年間の実質利率 $j = (1.05)^{2} - 1 = 0.1025$ を 1 期の利率とみなすと、毎期末に $10$ 万円を支払う永久年金の現価 $\frac{10}{j}$ に等しい。

別解

$v = \frac{1}{1.05}$ とおく。 $2 k$ 年後（ $k = 1, 2, \dots$ ）の支払い 10 万円の現在価値は $10 v^{2 k}$ なので
$X = k = 1 \sum \infty 10 v^{2 k} = 10 \cdot \frac{v ^{2}}{1 - v ^{2}} = \frac{10}{( 1.05 ) ^{2} - 1} .$
$(1.05)^{2} - 1 = 1.1025 - 1 = 0.1025 = \frac{41}{400}$ より
$X = \frac{10 \cdot 400}{41} = \frac{4000}{41} .$

検算: 2 年ごとの実効利率は $1.0 5^{2} - 1 = 0.1025$ で、2 年後から始まる永久年金の現価は支払額 / 利率 $= 10/0.1025 \approx 97.56$ 。 $\frac{4000}{41} \approx 97.56$ で一致する。 $4000 = 2^{5} \cdot 5^{3}$ 、 $41$ は素数なので既約。

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