数理ファイナンス・保険数学の問題

年利率 $i$（$i>0$）の $1$ 年ごとの複利が将来にわたって一定であるとする。この利率について
$$(1+i{)}^6=2$$
が成り立つことがわかっている。

いまから $18$ 年後にちょうど $800$ 万円が支払われる。この支払いの現時点での現価（現在価値）は何万円か。

年利率 $i$（$i>0$）の $1$ 年ごとの複利で預けると、元金が $8$ 年後にちょうど $3$ 倍になるとする。この年利率 $i$ の複利で割り引くとき、いまから $4$ 年後に支払われる $900$ 万円の現在価値（現価）は何万円か。根号を用いて答えよ。

年利率 $5\%$（1 年ごとの複利）が将来にわたって一定である市場を考える。ある基金は、いまから $2$ 年後、$4$ 年後、$6$ 年後、$\dots$ と、$2$ 年ごとに $10$ 万円ずつを永久に支払い続ける。この支払いの、現時点（時刻 $0$）における現在価値の総和を $X$ 万円とする。$X$ を既約分数で求めよ。

$420$ 万円を年利率 $10\%$（$1$ 年ごとの複利）で借り入れ、第 $1$ 年末と第 $2$ 年末の計 $2$ 回、毎回同じ金額 $X$ 万円を支払って返済する。第 $2$ 年末の支払いで借入残高はちょうど $0$ になる。$X$ の値を求めよ。

$820$ 万円を年利率 $5\%$（$1$ 年ごとの複利）で借り入れ、元利均等返済で返す。返済は第 $1$ 年末と第 $2$ 年末の計 $2$ 回で、毎回同じ金額 $X$ 万円を支払う。第 $2$ 年末の返済で借入残高はちょうど $0$ になる。$X$ を求めよ。