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数理ファイナンス・保険数学の問題

難易度 2教科書の演習問題レベル大学数学数理ファイナンス・保険数学

年利率 $10%$ （ $1$ 年ごとの複利）が一定である口座に、毎年同じ金額 $X$ 万円を、第 $1$ 年初め（時刻 $0$ ）、第 $2$ 年初め（時刻 $1$ ）、第 $3$ 年初め（時刻 $2$ ）の計 $3$ 回積み立てる（時刻の単位は年）。途中で引き出しはしないものとする。

第 $3$ 年末（時刻 $3$ ）における口座の残高（元利合計）がちょうど $728.2$ 万円になるとき、 $X$ を求めよ。

この問題で使うもの

複利と現在価値（説明と入口の問題）
等差・等比数列の和と Σ（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（17 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

それぞれの積立金が、時刻 $3$ までに何年分の利息を受けるかを考えましょう。

ヒント 2

時刻 $t$ に預けた $X$ 万円は、時刻 $3$ に $X (1.1)^{3 - t}$ 万円になります。

ヒント 3

時刻 $3$ の残高は $X (1. 1^{3} + 1. 1^{2} + 1.1)$ 万円です。この係数を計算しましょう。

答えと解説

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200

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解説を読む

$1$ 年複利で年利率 $i = 0.1$ のとき、時刻 $t$ に預けた金額 $A$ は時刻 $3$ に $A (1 + i)^{3 - t}$ になる。

時刻 $0$ に積み立てた $X$ 万円は、 $3$ 年間利息がつくので $X (1.1)^{3} = 1.331 X$ 万円。
時刻 $1$ に積み立てた $X$ 万円は、 $2$ 年間利息がつくので $X (1.1)^{2} = 1.21 X$ 万円。
時刻 $2$ に積み立てた $X$ 万円は、 $1$ 年間利息がつくので $X (1.1) = 1.1 X$ 万円。

よって時刻 $3$ の残高は
$X (1. 1^{3} + 1. 1^{2} + 1.1) = X (1.331 + 1.21 + 1.1) = 3.641 X (万円) .$
（これは期始払い年金の終価 $s ¨_{3 ∣} = \frac{( 1 + i ) ^{3} - 1}{i} (1 + i) = \frac{0.331}{0.1} \times 1.1 = 3.641$ と一致する。）

$3.641 X = 728.2$ を解いて
$X = \frac{728.2}{3.641} = 200.$

別解

時刻 $0, 1, 2$ に積み立てた $X$ は、時刻 $3$ までそれぞれ $3, 2, 1$ 年運用される。残高は $X (1. 1^{3} + 1. 1^{2} + 1.1) = X (1.331 + 1.21 + 1.1) = 3.641 X$ 。これが $728.2$ なので $X = 728.2/3.641 = 200$ 。検算: $3.641 \times 200 = 728.2$ 。

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