数理ファイナンス・保険数学の問題

$820$ 万円を年利率 $5\%$（$1$ 年ごとの複利）で借り入れ、元利均等返済で返す。返済は第 $1$ 年末と第 $2$ 年末の計 $2$ 回で、毎回同じ金額 $X$ 万円を支払う。第 $2$ 年末の返済で借入残高はちょうど $0$ になる。$X$ を求めよ。

$82$ 万円を年利率 $5\%$（$1$ 年ごとの複利）で借り入れ、元利均等返済で返す。返済は第 $1$ 年末と第 $2$ 年末の計 $2$ 回で、毎回同じ金額 $R$ 万円を支払い、第 $2$ 年末の返済で借入残高はちょうど $0$ になる。$R$ の値を求めよ。

$420$ 万円を年利率 $10\%$（$1$ 年ごとの複利）で借り入れ、第 $1$ 年末と第 $2$ 年末の計 $2$ 回、毎回同じ金額 $X$ 万円を支払って返済する。第 $2$ 年末の支払いで借入残高はちょうど $0$ になる。$X$ の値を求めよ。

年利率 $10\%$（$1$ 年ごとの複利）が一定である口座に、毎年同じ金額 $X$ 万円を、第 $1$ 年初め（時刻 $0$）、第 $2$ 年初め（時刻 $1$）、第 $3$ 年初め（時刻 $2$）の計 $3$ 回積み立てる（時刻の単位は年）。途中で引き出しはしないものとする。

第 $3$ 年末（時刻 $3$）における口座の残高（元利合計）がちょうど $728.2$ 万円になるとき、$X$ を求めよ。

ある集団の生命表の一部が次のように与えられている。ここで $l_x$ は $x$ 歳ちょうどの生存者数である。
$$l_{50}=1000,l_{51}=980,l_{52}=950,l_{53}=900$$
この集団の死亡は生命表どおりに起こるものとする。すなわち、$50$ 歳ちょうどの人が時刻 $t$（年、加入時を $t=0$ とする）に生存している確率は $l_{50+t}/l_{50}$、時刻 $k-1$ から時刻 $k$ までの $1$ 年間（第 $k$ 年度）に死亡する確率は $(l_{49+k}-l_{50+k})/l_{50}$ である（$k=1,2,3$）。

$50$ 歳ちょうどの人が、次のような保険期間 $3$ 年の定期保険に加入する。

• 第 $k$ 年度（$k=1,2,3$）に死亡した場合、時刻 $k$ に保険金 $1000000$ 円が $1$ 回だけ支払われる。時刻 $3$ に生存していれば何も支払われない。
• 保険料は時刻 $t=0,1,2$ の $3$ 回、その時点で生存している場合に限り、同じ額 $P$ 円ずつ払い込まれる。

予定利率は年 $i=\frac{1}{19}$（1 年ごとの複利）とし、現価率は $v=\frac{1}{1+i}=0.95$ である。経費は考えない。収支相等の原則（保険料の期待現価と保険金の期待現価が等しい）によって純保険料 $P$ を定めるとき、$P$ を円未満を四捨五入して整数で求めよ。