数理ファイナンス・保険数学の問題

$820$ 万円を年利率 $5\%$（$1$ 年ごとの複利）で借り入れ、元利均等返済で返す。返済は第 $1$ 年末と第 $2$ 年末の計 $2$ 回で、毎回同じ金額 $X$ 万円を支払う。第 $2$ 年末の返済で借入残高はちょうど $0$ になる。$X$ を求めよ。

$420$ 万円を年利率 $10\%$（$1$ 年ごとの複利）で借り入れ、第 $1$ 年末と第 $2$ 年末の計 $2$ 回、毎回同じ金額 $X$ 万円を支払って返済する。第 $2$ 年末の支払いで借入残高はちょうど $0$ になる。$X$ の値を求めよ。

$331$ 万円を年利率 $10\%$（$1$ 年ごとの複利）で借り入れ、元利均等返済で返す。返済は第 $1$ 年末、第 $2$ 年末、第 $3$ 年末の計 $3$ 回で、毎回同じ金額を支払う。第 $3$ 年末の返済で借入残高はちょうど $0$ になる。

各回の返済額のうち、その時点までの $1$ 年間に借入残高について生じた利息にあたる部分を「利息分」、残りを「元本返済分」とよぶ。第 $2$ 年末の返済額に含まれる元本返済分は何万円か。

ただし、利率は返済期間中ずっと一定とし、手数料などは考えない。

年利率 $10\%$（$1$ 年ごとの複利）が一定である口座に、毎年同じ金額 $X$ 万円を、第 $1$ 年初め（時刻 $0$）、第 $2$ 年初め（時刻 $1$）、第 $3$ 年初め（時刻 $2$）の計 $3$ 回積み立てる（時刻の単位は年）。途中で引き出しはしないものとする。

第 $3$ 年末（時刻 $3$）における口座の残高（元利合計）がちょうど $728.2$ 万円になるとき、$X$ を求めよ。

年利率 $i$（$i>0$）の $1$ 年ごとの複利で預けると、元金が $8$ 年後にちょうど $3$ 倍になるとする。この年利率 $i$ の複利で割り引くとき、いまから $4$ 年後に支払われる $900$ 万円の現在価値（現価）は何万円か。根号を用いて答えよ。