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数理ファイナンス・保険数学の問題

難易度 3期末試験の応用レベル大学数学数理ファイナンス・保険数学

1 年ごとの複利で、年利率 $i$ （ $i > 0$ ）が一定の市場を考える。この利率で $100$ 万円を預けると、 $10$ 年後にちょうど $200$ 万円になることがわかっている。

いま $100$ 万円を年利率 $i$ （1 年複利）で借り、次のように返済して $20$ 年でちょうど完済する。
- 1 年後から 10 年後まで、毎年末に $X$ 万円ずつ返済する（計 10 回）
- 11 年後から 20 年後まで、毎年末に $2 X$ 万円ずつ返済する（計 10 回）

$X$ の値を求めよ。

この問題で使うもの

複利と現在価値（説明と入口の問題）
年金現価とローン返済（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（20 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

借入額 $100$ 万円と、すべての返済額の現在価値（時刻 $0$ に割り引いた値）の合計が等しい、という式を立てましょう。割引因子 $v = \frac{1}{1 + i}$ を使います。

ヒント 2

条件から $(1 + i)^{10} = 2$ 、つまり $v^{10} = \frac{1}{2}$ です。期末払い年金の現価は $a_{n ∣} = \frac{1 - v ^{n}}{i}$ で、後半の返済はさらに $v^{10}$ を掛けて割り引きます。

ヒント 3

$a_{10 ∣} = \frac{1}{2 i}$ であり、返済額の現価は $X a_{10 ∣} + 2 X v^{10} a_{10 ∣} = 2 X a_{10 ∣}$ とまとめられます。

答えと解説

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100 (2^{\frac{1}{10}} - 1)

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解説を読む

割引因子を $v = \frac{1}{1 + i}$ とおく。

利率の条件 $100 (1 + i)^{10} = 200$ より $(1 + i)^{10} = 2$ 、すなわち
$v^{10} = \frac{1}{2}, i = 2^{\frac{1}{10}} - 1.$

年金現価 毎年末に $1$ を $n$ 回支払う期末払い年金の現価は、等比数列の和より
$a_{n ∣} = v + v^{2} + \dots + v^{n} = \frac{v ( 1 - v ^{n} )}{1 - v} = \frac{1 - v ^{n}}{i}$
（ $\frac{v}{1 - v} = \frac{1}{( 1 + i ) - 1} = \frac{1}{i}$ を用いた）。したがって
$a_{10 ∣} = \frac{1 - \frac{1}{2}}{i} = \frac{1}{2 i} .$

返済額の現価 前半 10 回分の現価は $X a_{10 ∣}$ 。後半 10 回分は、時刻 $10$ の時点で見ると現価 $2 X a_{10 ∣}$ の年金なので、時刻 $0$ に割り引くと $v^{10} \cdot 2 X a_{10 ∣}$ 。よって返済額全体の現価は
$X a_{10 ∣} + 2 X v^{10} a_{10 ∣} = X a_{10 ∣} (1 + 2 \cdot \frac{1}{2}) = 2 X a_{10 ∣} = 2 X \cdot \frac{1}{2 i} = \frac{X}{i} .$

完済の条件 借入額の現価と返済額の現価が等しいので
$100 = \frac{X}{i} ⟹ X = 100 i = 100 (2^{\frac{1}{10}} - 1) (\approx 7.18) .$

別解

$v = (1 + i)^{- 1}$ とおく。 $100$ 万円が 10 年後に $200$ 万円なので $(1 + i)^{10} = 2$ 、すなわち $v^{10} = \frac{1}{2}$ 、 $i = 2^{1/10} - 1$ 。

10 年確定年金現価: $a_{10 ∣} = \frac{1 - v ^{10}}{i} = \frac{1/2}{i} = \frac{1}{2 i}$ 。

返済の現在価値は
$X a_{10 ∣} + 2 X v^{10} a_{10 ∣} = X a_{10 ∣} (1 + 2 v^{10}) = X \cdot \frac{1}{2 i} \cdot 2 = \frac{X}{i}$ 。

これが借入額 $100$ に等しいので $X = 100 i = 100 (2^{1/10} - 1)$ 。

検算: $2^{1/10} \approx 1.071773$ なので $i \approx 0.071773$ 、 $X \approx 7.1773$ 。 $a_{10 ∣} \approx 0.5/0.071773 \approx 6.9662$ より、 $7.1773 \times 6.9662 \times 2 \approx 100.0$ となり一致する。

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