数理ファイナンス・保険数学の問題

ある人の生死について、次のモデルを考える。この人は、各年度の初めに生存していれば、その 1 年間を確率 $0.9$ で生き延び、確率 $0.1$ で死亡する。この確率は年齢によらず一定で、各年度の生死は独立に決まるものとする。

この人が現在（時刻 $0$）生存しており、次の終身保険に加入する。
- 死亡した年度の末に、保険金 $54$ 万円が支払われる。
- 保険料は、生存している限り毎年度の初め（時刻 $0,1,2,\dots$）に $P$ 万円ずつ支払う（終身払い）。

年利率 $i=0.08$ の複利で割り引くとき、収支相等の原則（保険金の期待現価と保険料の期待現価が等しい）から、年払純保険料 $P$（万円）を求めよ。

ある集団では、年齢によらず、生存している人がその後 $1$ 年間に死亡する確率はつねに $0.02$ であるとする。したがって、ある年齢 $x$ 歳ちょうどの人について、$t$ を $0$ 以上の整数として
$${}_t{p}_x=0.98^t,{}_{t|}{q}_x=0.98^t\times 0.02$$
である。

$x$ 歳ちょうどの人が次の終身保険に加入する。
- 死亡した年度の末に保険金 $1050000$ 円を支払う。
- 保険料は、加入時から毎年度の初めに、生存している限り同額 $P$ 円を払い込む。

年利率 $i=0.05$ の複利で計算し、$v=\frac{1}{1+i}$ とする。収支相等の原則（保険金の期待現価と保険料の期待現価が等しい）により、年払純保険料 $P$（円）を求めよ。

ある集団の生存者数 $l_x$（$x$ 歳ちょうどの生存者数）が、$0\le x\le 100$ の整数 $x$ について
$$l_x=100-x$$
で与えられているとする（$l_{100}=0$ であり、$100$ 歳を超えて生存する人はいない）。年利率 $i=0.25$（$1$ 年ごとの複利）が一定であるとする。

$96$ 歳ちょうどの人が次の終身保険に加入する。
- 死亡した場合、死亡した年度の末に保険金 $1000$ を支払う。
- 保険料は毎年度の初めに同じ額 $P$ を、被保険者が生存している限り支払う（第 $1$ 回は加入時）。

収支相等の原則（保険料の現価の期待値と保険金の現価の期待値が等しい）により定まる年払純保険料 $P$ を求めよ。

ある集団の生命表の一部が次のように与えられている。ここで $l_x$ は $x$ 歳ちょうどの生存者数である。
$$l_{50}=1000,l_{51}=980,l_{52}=950,l_{53}=900$$
この集団の死亡は生命表どおりに起こるものとする。すなわち、$50$ 歳ちょうどの人が時刻 $t$（年、加入時を $t=0$ とする）に生存している確率は $l_{50+t}/l_{50}$、時刻 $k-1$ から時刻 $k$ までの $1$ 年間（第 $k$ 年度）に死亡する確率は $(l_{49+k}-l_{50+k})/l_{50}$ である（$k=1,2,3$）。

$50$ 歳ちょうどの人が、次のような保険期間 $3$ 年の定期保険に加入する。

• 第 $k$ 年度（$k=1,2,3$）に死亡した場合、時刻 $k$ に保険金 $1000000$ 円が $1$ 回だけ支払われる。時刻 $3$ に生存していれば何も支払われない。
• 保険料は時刻 $t=0,1,2$ の $3$ 回、その時点で生存している場合に限り、同じ額 $P$ 円ずつ払い込まれる。

予定利率は年 $i=\frac{1}{19}$（1 年ごとの複利）とし、現価率は $v=\frac{1}{1+i}=0.95$ である。経費は考えない。収支相等の原則（保険料の期待現価と保険金の期待現価が等しい）によって純保険料 $P$ を定めるとき、$P$ を円未満を四捨五入して整数で求めよ。

ある集団の生命表の一部が次のように与えられている。ここで $l_x$ は $x$ 歳ちょうどの生存者数である。
$$l_{40}=1000,l_{41}=990,l_{42}=972$$

$40$ 歳ちょうどの人が、次の保険期間 $2$ 年の定期保険に加入する。
- 加入後 $1$ 年以内に死亡した場合は $1$ 年目の年末に、$1$ 年後から $2$ 年後までの間に死亡した場合は $2$ 年目の年末に、保険金 $1000$ 万円が支払われる。$2$ 年後に生存していれば何も支払われない。
- 保険料は毎年同額 $P$ 万円で、加入時と $1$ 年後の年始に、そのときに生存していれば支払う（年始払い）。

予定利率を年 $5\%$（1 年複利）とし、死亡は上の生命表に従うものとする。収支相等の原則（保険料の期待現価と保険金の期待現価が等しい）によって定まる年払純保険料 $P$（万円）を求めよ。答えは既約分数で答えよ。