確率・統計の問題

方針：$f^{\prime }(z)=-zf(z)$ であることを使い、部分積分で次数を 2 ずつ下げていきます。

準備 1：密度の積分が 1 になること
$z=\sqrt{2}x$ と置換すると $dz=\sqrt{2}dx$ なので
$${\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-\frac{z^2}{2}}dz=\sqrt{2}{\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-x^2}dx=\sqrt{2}\cdot \sqrt{\pi }=\sqrt{2\pi }$$
です。よって ${\int }_{-\infty }^{\infty }f(z)dz=1$ となり、$f$ は確かに確率密度関数です。

準備 2：$f^{\prime }(z)=-zf(z)$
合成関数の微分より
$$f^{\prime }(z)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{z^2}{2}}\cdot (-z)=-zf(z)$$
です。したがって $zf(z)=-f^{\prime }(z)$ であり、$-f(z)$ は $zf(z)$ の原始関数です。

手順 1：$E(Z^2)$ を求める
$z^{2}f(z)=z\cdot zf(z)$ とみて部分積分すると
$$E(Z^2)={\int }_{-\infty }^{\infty }z\cdot zf(z)dz=[-zf(z){]}_{-\infty }^{\infty }+{\int }_{-\infty }^{\infty }f(z)dz$$
です。$\underset{z\to \pm \infty }{\lim }z{e}^{-\frac{z^2}{2}}=0$ より第 1 項は $0$、第 2 項は準備 1 より $1$ です。よって $E(Z^2)=1$ です。

手順 2：$E(Z^4)$ を求める
$z^{4}f(z)=z^3\cdot zf(z)$ とみて同様に部分積分すると
$$E(Z^4)={\int }_{-\infty }^{\infty }{z}^3\cdot zf(z)dz=[-z^{3}f(z){]}_{-\infty }^{\infty }+3{\int }_{-\infty }^{\infty }{z}^{2}f(z)dz$$
です。$\underset{z\to \pm \infty }{\lim }{z}^3{e}^{-\frac{z^2}{2}}=0$ より第 1 項は $0$ です。第 2 項は $3E(Z^2)=3\cdot 1=3$ です。

したがって
$$E(Z^4)=3$$
です。

（補足：同じ計算をくり返すと $E(Z^{2k})=(2k-1)E(Z^{2k-2})$ が成り立ちます。）

$m_n=E(Z^n)$ とおく。部分積分により $m_4=\int z^3\cdot zf(z)dz$ を計算する。$zf(z)=-f^{\prime }(z)$ であるから、
$$m_4={\int }_{-\infty }^{\infty }{z}^3(-f^{\prime }(z))dz={\left[-z^{3}f(z)\right]}_{-\infty }^{\infty }+{\int }_{-\infty }^{\infty }3z^{2}f(z)dz.$$
$z\to \pm \infty$ で $z^3{e}^{-z^2/2}\to 0$ なので境界項は 0 であり、$m_4=3m_2$ となる。
同様に $m_2=\int z\cdot zf(z)dz={\left[-zf(z)\right]}_{-\infty }^{\infty }+\int f(z)dz=0+1=1$。
よって $m_4=3\cdot 1=3$。

検算：ガウス積分から ${\int }_{-\infty }^{\infty }{x}^4{e}^{-x^2}dx=\frac{3}{4}\sqrt{\pi }$ である。$z=\sqrt{2}x$ とおくと、$E(Z^4)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\int 4x^4{e}^{-x^2}\sqrt{2}dx=\frac{4}{\sqrt{\pi }}\cdot \frac{3}{4}\sqrt{\pi }=3$ となり、一致する。