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確率・統計の問題

難易度 1教科書の例題レベル大学数学確率・統計

確率変数 $Z$ は標準正規分布 $N (0, 1)$ に従い、その確率密度関数は
$φ (z) = \frac{1}{2 π} e^{- \frac{z ^{2}}{2}} (- \infty < z < \infty)$
である。ガウス積分 $\int_{- \infty}^{\infty} e^{- x^{2}} d x = π$ を用いてよいものとして、 $Z$ の 4 次の積率 $E (Z^{4})$ を求めよ。

この問題で使うもの

正規分布の密度と積率（説明と入口の問題）
部分積分（説明と入口の問題）
ガウス積分（説明と入口の問題）
置換積分（説明と入口の問題）
広義積分（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（66 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

技能「正規分布の密度と積率」を使います。 $z φ (z)$ が $- φ (z)$ の導関数になることを利用して、部分積分で次数を下げましょう。

ヒント 2

$φ^{'} (z) = - z φ (z)$ より、 $\int z^{n} φ (z) d z$ は部分積分で $(n - 1) \int z^{n - 2} φ (z) d z$ に直せます（境界項は 0）。また $\int_{- \infty}^{\infty} φ (z) d z = 1$ は $z = 2 x$ の置換で確かめられます。

ヒント 3

部分積分により $E (Z^{2}) = \int_{- \infty}^{\infty} φ (z) d z = 1$ 、さらに $E (Z^{4}) = 3 E (Z^{2})$ となります。

答えと解説

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3

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解説を読む

手順 1：密度の積分が 1 になることを確かめる。
$z = 2 x$ と置換すると $d z = 2 d x$ なので
$\int_{- \infty}^{\infty} e^{- \frac{z ^{2}}{2}} d z = 2 \int_{- \infty}^{\infty} e^{- x^{2}} d x = 2 \cdot π = 2 π .$
よって $\int_{- \infty}^{\infty} φ (z) d z = \frac{2 π}{2 π} = 1$ である。

手順 2：部分積分の準備。
$φ^{'} (z) = \frac{1}{2 π} e^{- \frac{z ^{2}}{2}} \cdot (- z) = - z φ (z)$ より、 $z φ (z) = (- φ (z))^{'}$ である。また、任意の 0 以上の整数 $n$ について $z \to \pm \infty$ のとき $z^{n} e^{- \frac{z ^{2}}{2}} \to 0$ である。

手順 3： $E (Z^{2})$ を求める。
$E (Z^{2}) = \int_{- \infty}^{\infty} z \cdot z φ (z) d z = [- z φ (z)]_{- \infty}^{\infty} + \int_{- \infty}^{\infty} φ (z) d z = 0 + 1 = 1.$

手順 4： $E (Z^{4})$ を求める。
同様に $z^{4} φ (z) = z^{3} \cdot z φ (z)$ と見て部分積分すると
$E (Z^{4}) = [- z^{3} φ (z)]_{- \infty}^{\infty} + \int_{- \infty}^{\infty} 3 z^{2} φ (z) d z = 0 + 3 E (Z^{2}) = 3 \cdot 1 = 3.$

したがって $E (Z^{4}) = 3$ である。

別解

$E (Z^{4}) = \frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{\infty} z^{4} e^{- z^{2} /2} d z$ を求める。

まず $I_{n} = \int_{- \infty}^{\infty} z^{n} e^{- z^{2} /2} d z$ とおく。ガウス積分で $x = z / 2$ と置換すると、 $I_{0} = 2 \int e^{- x^{2}} d x = 2 π$ 。

部分積分を行う。 $z^{n} e^{- z^{2} /2} = z^{n - 1} \cdot z e^{- z^{2} /2}$ とし、 $z e^{- z^{2} /2} = - \frac{d}{d z} e^{- z^{2} /2}$ を用いると、
$I_{n} = [- z^{n - 1} e^{- z^{2} /2}]_{- \infty}^{\infty} + (n - 1) \int z^{n - 2} e^{- z^{2} /2} d z = (n - 1) I_{n - 2}$ （ $n \geq 2$ ）。境界項は 0。

よって $I_{2} = I_{0} = 2 π$ 、 $I_{4} = 3 I_{2} = 3 2 π$ 。

ゆえに $E (Z^{4}) = \frac{1}{2 π} \cdot 3 2 π = 3$ 。

検算：標準正規分布の偶数次モーメントは $(2 k - 1)!!$ であり、 $k = 2$ のとき $3!! = 3$ で一致する。また尖度が 3 であることとも整合する。

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