確率・統計の問題

手順 1：密度の積分が 1 になることの確認

$z=\sqrt{2}x$ と置換すると $dz=\sqrt{2}dx$ なので
$${\int }_{-\infty }^{\infty }\phi (z)dz=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-x^2}\sqrt{2}dx=\frac{\sqrt{2}\cdot \sqrt{\pi }}{\sqrt{2\pi }}=1$$
となる。

手順 2：部分積分に使う関係式

合成関数の微分より
$${\phi }^{\prime }(z)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{z^2}{2}}\cdot (-z)=-z\phi (z)$$
が成り立つ。したがって $z^{n+1}\phi (z)=z^n\cdot z\phi (z)=-z^n{\phi }^{\prime }(z)$ である。

また、任意の 0 以上の整数 $n$ について $\underset{z\to \pm \infty }{\lim }{z}^n{e}^{-\frac{z^2}{2}}=0$ が成り立つ。指数関数の減少が多項式の増加より速いためである。

手順 3：$E(Z^2)$ を求める

$z^2\phi (z)=-z{\phi }^{\prime }(z)$ を部分積分すると
$$E(Z^2)={\int }_{-\infty }^{\infty }{z}^2\phi (z)dz=[-z\phi (z){]}_{-\infty }^{\infty }+{\int }_{-\infty }^{\infty }\phi (z)dz=0+1=1$$
となる。

手順 4：$E(Z^4)$ を求める

$z^4\phi (z)=-z^3{\phi }^{\prime }(z)$ を部分積分すると
$$E(Z^4)={\int }_{-\infty }^{\infty }{z}^4\phi (z)dz=[-z^3\phi (z){]}_{-\infty }^{\infty }+3{\int }_{-\infty }^{\infty }{z}^2\phi (z)dz=0+3E(Z^2)$$
となる。手順 3 より $E(Z^2)=1$ なので
$$E(Z^4)=3\cdot 1=3$$

(参考) 同じ計算をくり返すと、一般に $E(Z^{2k})=(2k-1)E(Z^{2k-2})$ が得られる。

$E(Z^4)={\int }_{-\infty }^{\infty }{z}^4\phi (z)dz$ を部分積分で求める。$z^4{e}^{-z^2/2}=z^3\cdot (z{e}^{-z^2/2})$ とし、$z{e}^{-z^2/2}=-\frac{d}{dz}{e}^{-z^2/2}$ を用いると
$${\int }_{-\infty }^{\infty }{z}^3\cdot z{e}^{-z^2/2}dz={\left[-z^3{e}^{-z^2/2}\right]}_{-\infty }^{\infty }+3{\int }_{-\infty }^{\infty }{z}^2{e}^{-z^2/2}dz.$$
境界項は 0 になる。よって $E(Z^4)=3E(Z^2)$。
同様に $E(Z^2)=\int z\cdot z\phi dz=[-z\phi ]+\int \phi dz=0+1=1$。ここで ${\int }_{-\infty }^{\infty }\phi (z)dz=1$ は、$z=\sqrt{2}x$ と置換するとガウス積分 $\int e^{-x^2}dx=\sqrt{\pi }$ から $\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\sqrt{2}\sqrt{\pi }=1$ と確かめられる。
ゆえに $E(Z^4)=3\cdot 1=3$。
検算：モーメント母関数 $e^{t^2/2}=1+\frac{t^2}{2}+\frac{t^4}{8}+\cdots$ の $t^4$ の係数は $E(Z^4)/4!=1/8$ なので $E(Z^4)=24/8=3$。一致する。