確率・統計の問題

確率変数 $X_1,X_2,\dots ,X_{300}$ は互いに独立で、それぞれ区間 $[0,1]$ 上の一様分布に従うとする。
$$S=X_1+X_2+\cdots +X_{300}$$
とおく。中心極限定理を用いて $S$ の分布を正規分布で近似し、確率 $P(S\leqq 160)$ の近似値を求めよ。ただし、標準正規分布に従う確率変数 $Z$ について $P(0\leqq Z\leqq 2)=0.4772$ とし、答えは小数第 4 位までの小数で答えよ。

ある窓口で 1 人の客の対応にかかる時間（分）を確率変数とみなす。$100$ 人の客の対応時間 $X_1,X_2,\dots ,X_{100}$ は互いに独立で、どれも期待値 $2$、標準偏差 $2$ の同じ分布にしたがうとする。対応時間の合計 $S=X_1+X_2+\cdots +X_{100}$ について、確率 $P(S\leqq 220)$ を中心極限定理による正規分布の近似を用いて求めよ。ただし、標準正規分布にしたがう確率変数 $Z$ について $P(Z\leqq 1)=0.8413$ を用いてよい。

$n$ を正の整数とする。確率変数 $X_1,X_2,\dots ,X_n$ は互いに独立で、どれも区間 $[0,1]$ 上の一様分布（確率密度関数 $f(x)=1$ $(0\le x\le 1)$、それ以外で $f(x)=0$）に従うとする。標本平均を
$${\bar{X}}_n=\frac{X_1+X_2+\cdots +X_n}{n}$$
とおく。チェビシェフの不等式を ${\bar{X}}_n$ に用いて得られる評価
$$P\left(\left|{\bar{X}}_n-\frac{1}{2}\right|\ge \frac{1}{10}\right)\le (\text{上界})$$
の右辺の上界が $\frac{1}{20}$ 以下になるような最小の正の整数 $n$ を求めよ。

確率変数 $X_1,X_2,\dots ,X_n,\dots$ は互いに独立で、どれも次の確率分布にしたがうとする。
$$P(X_k=-1)=\frac{1}{4},P(X_k=0)=\frac{1}{2},P(X_k=2)=\frac{1}{4}(k=1,2,3,\dots )$$
正の整数 $n$ に対して
$$Y_n=\frac{X_1^2+X_2^2+\cdots +X_n^2}{n}$$
とおく。ある定数 $c$ が存在して、任意の正の数 $\epsilon$ に対して
$$\underset{n\to \infty }{\lim }P\left(|Y_n-c|\ge \epsilon \right)=0$$
が成り立つ。この定数 $c$ を求めよ。

$n$ を $2$ 以上の整数とする。確率変数 $X_1,X_2,\dots ,X_n$ は互いに独立で、どれも期待値 $m$、分散 ${\sigma }^2$（$\sigma >0$）の同じ分布に従うとする。標本平均を $\bar{X}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i$ とし、
$$S^2=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{\left(X_i-\bar{X}\right)}^2$$
とおく。期待値 $E(S^2)$ を $n$ と $\sigma$ を用いて表せ。