確率・統計の問題

確率変数 $X_1,X_2,\dots ,X_{48}$ は互いに独立で、どれも区間 $[0,1]$ 上の一様分布に従うとする。これらの和を
$$S=X_1+X_2+\cdots +X_{48}$$
とおく。中心極限定理による正規分布での近似を用いて、確率 $P(S\geqq 26)$ の近似値を小数第 4 位まで求めよ。ただし、標準正規分布 $N(0,1)$ に従う確率変数 $Z$ について $P(Z\leqq 1)=0.8413$ とする。

確率変数 $X_1,X_2,\dots ,X_{300}$ は互いに独立で、それぞれ区間 $[0,1]$ 上の一様分布に従うとする。
$$S=X_1+X_2+\cdots +X_{300}$$
とおく。中心極限定理を用いて $S$ の分布を正規分布で近似し、確率 $P(S\leqq 160)$ の近似値を求めよ。ただし、標準正規分布に従う確率変数 $Z$ について $P(0\leqq Z\leqq 2)=0.4772$ とし、答えは小数第 4 位までの小数で答えよ。

$n$ を $2$ 以上の整数とする。確率変数 $X_1,X_2,\dots ,X_n$ は互いに独立で、どれも期待値 $m$、分散 ${\sigma }^2$（$\sigma >0$）の同じ分布に従うとする。標本平均を $\bar{X}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i$ とし、
$$S^2=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{\left(X_i-\bar{X}\right)}^2$$
とおく。期待値 $E(S^2)$ を $n$ と $\sigma$ を用いて表せ。

$n$ を $2$ 以上の整数とする。確率変数 $X_1,X_2,\dots ,X_n$ は互いに独立で、どれも平均 $\mu$、分散 ${\sigma }^2$（$\sigma >0$）の同じ分布に従うとする。標本平均を $\bar{X}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i$ とし、$n$ で割った標本分散
$$S^2=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{\left(X_i-\bar{X}\right)}^2$$
を考える。期待値 $E(S^2)$ を $n$ と $\sigma$ を用いて表せ。

確率変数 $X$ はパラメータ $2$ のポアソン分布に、確率変数 $Y$ はパラメータ $3$ のポアソン分布に従う。$X$ と $Y$ は互いに独立である。このとき、確率 $P(X+Y=2)$ を求めよ。