出生死滅過程の定常分布

到着率 $λ_{n}$ ・退去率 $μ_{n}$ の出生死滅過程について、平衡方程式 $λ_{n} p_{n} = μ_{n + 1} p_{n + 1}$ を立て、 $\sum p_{n} = 1$ から定常確率 $p_{0}, p_{n}$ を求められる

前提

一様分布・指数分布（大学数学確率・統計）
定常分布（大学数学確率・統計）
無限等比級数と無限級数（数学III 極限）

この技能までの道筋（64 技能）

算数中学高校大学大学院

読み込み中…

右端（太枠）がこの技能です。左へドラッグすると、さらに前の前提をさかのぼれます。技能を押すと、そこまでの道筋が光ります。

一覧で見る（前提が先）

樹形図で数え上げる（算数場合の数）
積の法則と和の法則（算数場合の数）
和の法則・積の法則と樹形図（数学A 場合の数と確率）
順列・円順列・重複順列（数学A 場合の数と確率）
組合せ（数学A 場合の数と確率）
確率の定義と和事象・余事象（数学A 場合の数と確率）
期待値（数学A 場合の数と確率）
確率変数と確率分布（数学B 統計的な推測）
平均と合計（算数いろいろな文章題）
平均値・中央値・最頻値（中学数学データの活用）
代表値（平均値・中央値・最頻値）（数学I データの分析）
分散と標準偏差（数学I データの分析）
変量の変換と平均・分散（数学I データの分析）
確率変数の期待値・分散と $a X + b$ （数学B 統計的な推測）
分数のたし算・ひき算（算数計算と数のきまり）
小数の四則計算（算数計算と数のきまり）
正負の数の加法・減法（中学数学数と式）
分数のかけ算・わり算（算数計算と数のきまり）
四則の混じった計算の順序（算数計算と数のきまり）
正負の数の乗除・累乗と四則混合（中学数学数と式）
分配法則を使った計算のくふう（算数計算と数のきまり）
文字式の計算（同類項・分配法則）（中学数学数と式）
乗法公式による展開（中学数学数と式）
因数分解（中学数学数と式）
3 次式までの展開と因数分解（数学I 数と式）
微分係数と導関数の定義（数学II 微分法と積分法）
多項式の微分（数学II 微分法と積分法）
多項式の不定積分（数学II 微分法と積分法）
定積分の計算（数学II 微分法と積分法）
連続型確率変数と確率密度関数（数学B 統計的な推測）
等間隔にならんだ数の和（算数計算と数のきまり）
等差・等比数列の和と Σ （数学B 数列）
数列の極限（数学III 極限）
関数の極限（数学III 極限）
積と商の微分（数学III 微分法）
合成関数の微分（数学III 微分法）
円の周の長さと面積（算数平面図形）
おうぎ形の弧の長さと面積（算数平面図形）
弧の長さからおうぎ形の中心角と面積を求める（中学数学平面図形）
三角形・四角形の面積（算数平面図形）
約数の見つけ方（算数整数の性質）
素因数分解と約数の個数（算数整数の性質）
平方根の意味と根号の簡単化（中学数学数と式）
三平方の定理（中学数学相似と三平方の定理）
特別な直角三角形の辺の比（中学数学相似と三平方の定理）
弧度法と単位円による三角関数（数学II 三角関数）
$sin x / x$ の極限（数学III 極限）
加法定理と 2 倍角・半角・積和の公式（数学II 三角関数）
三角関数の導関数（数学III 微分法）
根号の乗除と加減（中学数学数と式）
指数の拡張と指数関数（数学II 指数関数と対数関数）
対数の定義と性質（数学II 指数関数と対数関数）
自然対数の底 $e$ （数学III 極限）
指数関数・対数関数の導関数（数学III 微分法）
基本的な関数の不定積分（数学III 積分法）
置換積分（数学III 積分法）
部分積分（数学III 積分法）
定積分の置換・部分積分と偶関数・奇関数（数学III 積分法）
広義積分（大学数学微分積分）
一様分布・指数分布（大学数学確率・統計）
条件付き確率と乗法定理（数学A 場合の数と確率）
マルコフ連鎖と推移確率（大学数学確率・統計）
定常分布（大学数学確率・統計）
無限等比級数と無限級数（数学III 極限）

説明

出生死滅過程とは、状態が $0, 1, 2, \dots$ （人数や個数）で、一度に $1$ だけ増える（出生・到着）か $1$ だけ減る（死滅・退去）かしか起こらない連続時間の確率過程です。この技能を使うと、状態ごとの到着率 $λ_{n}$ と退去率 $μ_{n}$ から、十分長い時間がたった後に状態 $n$ にいる確率 $p_{n}$ （定常確率）を求められます。窓口の待ち行列の人数、サーバーの同時接続数、生物の個体数などを長い目で見た分布を知りたいときに使います。

なぜそうしてよいのか

状態 $n$ にいるとき、次の到着までの時間は率 $λ_{n}$ の指数分布に従い、次の退去までの時間は率 $μ_{n}$ の指数分布に従うとします（ $μ_{0} = 0$ 、つまり $0$ 人からは減りません）。指数分布の無記憶性から、ごく短い時間 $h$ の間に $n \to n + 1$ となる確率はおよそ $λ_{n} h$ 、 $n \to n - 1$ となる確率はおよそ $μ_{n} h$ 、そのまま留まる確率はおよそ $1 - (λ_{n} + μ_{n}) h$ です。時間を幅 $h$ で区切ってマルコフ連鎖とみなし、 $π P = π$ を書くと、両辺の $h$ の係数を比べて $(λ_{n} + μ_{n}) p_{n} = λ_{n - 1} p_{n - 1} + μ_{n + 1} p_{n + 1}$ （ $n = 0$ では $λ_{0} p_{0} = μ_{1} p_{1}$ ）が得られます。これは「状態 $n$ から出ていく流れ＝状態 $n$ に入ってくる流れ」という式です。

この式から、隣どうしの簡単な関係が導けます。 $n = 0$ の式はそのまま $λ_{0} p_{0} = μ_{1} p_{1}$ です。 $λ_{n - 1} p_{n - 1} = μ_{n} p_{n}$ が成り立つと仮定すると、状態 $n$ の式からこの両辺を引いて $λ_{n} p_{n} = μ_{n + 1} p_{n + 1}$ が得られます。よって帰納的に、すべての $n \geq 0$ で平衡方程式 $λ_{n} p_{n} = μ_{n + 1} p_{n + 1}$ が成り立ちます。直観的には、 ${0, \dots, n}$ と ${n + 1, n + 2, \dots}$ の境目をまたぐ移動は「 $n \to n + 1$ 」と「 $n + 1 \to n$ 」しかなく、上りと下りは交互に起こるので、長い目で見ればその頻度は等しくなるはずだ、ということです。

この式を順に使うと $p_{n} = p_{0} \frac{λ _{0} λ _{1} \dots λ _{n - 1}}{μ _{1} μ _{2} \dots μ _{n}}$ となり、すべてが $p_{0}$ で表されます。最後に $\sum_{n \geq 0} p_{n} = 1$ を使えば $p_{0}$ が決まります。ただし、和 $S = 1 + \sum_{n \geq 1} \frac{λ _{0} \dots λ _{n - 1}}{μ _{1} \dots μ _{n}}$ が収束しなければ確率の和を $1$ にできないので、定常分布は存在しません（ここでは各 $μ_{n} > 0 (n \geq 1)$ 、 $λ_{n} > 0$ とします。状態が有限個の場合は和も有限個なので常に求まります）。

手順

状態の範囲と率を確認する。状態 $n$ での到着率 $λ_{n}$ 、退去率 $μ_{n}$ （ $μ_{0} = 0$ ）を書き出す。
隣り合う状態の平衡方程式 $λ_{n} p_{n} = μ_{n + 1} p_{n + 1}$ を $n = 0, 1, 2, \dots$ について立てる。
順に解いて、すべてを $p_{0}$ で表す： $p_{n} = p_{0} \frac{λ _{0} λ _{1} \dots λ _{n - 1}}{μ _{1} μ _{2} \dots μ _{n}} (n \geq 1)$ 。
和 $S = 1 + n \geq 1 \sum \frac{λ _{0} \dots λ _{n - 1}}{μ _{1} \dots μ _{n}}$ を計算し、収束することを確かめる（無限等比級数なら公比の絶対値が $1$ 未満か確認）。
$\sum p_{n} = 1$ より $p_{0} = \frac{1}{S}$ とし、必要なら手順 3 の式に代入して $p_{n}$ を求める。

例題

状態 $0, 1, 2, \dots$ をとる出生死滅過程で、到着率が $λ_{0} = 2$ 、 $λ_{n} = 1 (n \geq 1)$ 、退去率が $μ_{n} = 2 (n \geq 1)$ （ $μ_{0} = 0$ ）であるとする。定常確率 $p_{0}$ を求めよ。

例題の解答

手順 1：率は $λ_{0} = 2$ 、 $λ_{1} = λ_{2} = \dots = 1$ 、 $μ_{1} = μ_{2} = \dots = 2$ である。
手順 2：平衡方程式は $2 p_{0} = 2 p_{1}$ 、 $n \geq 1$ では $1 \cdot p_{n} = 2 p_{n + 1}$ 。
手順 3： $p_{1} = p_{0}$ 、 $p_{n + 1} = \frac{1}{2} p_{n} (n \geq 1)$ より $p_{n} = p_{0} \cdot \frac{2 \cdot 1 ^{n - 1}}{2 ^{n}} = p_{0} (\frac{1}{2})^{n - 1} (n \geq 1)$ 。
手順 4： $S = 1 + n \geq 1 \sum (\frac{1}{2})^{n - 1}$ 。後ろの和は初項 $1$ 、公比 $\frac{1}{2}$ （ $∣ \frac{1}{2} ∣ < 1$ なので収束）の無限等比級数で、和は $\frac{1}{1 - \frac{1}{2}} = 2$ 。よって $S = 1 + 2 = 3$ 。
手順 5： $p_{0} = \frac{1}{S} = \frac{1}{3}$ 。（確認： $p_{n} = \frac{1}{3} (\frac{1}{2})^{n - 1}$ で、 $\frac{1}{3} + \frac{1}{3} \cdot 2 = 1$ 。）

答え: $\frac{1}{3}$

よくある誤り

分子の積を $λ_{n}$ まで掛けてしまう誤り（ $p_{n} = p_{0} \frac{λ _{0} \dots λ _{n}}{μ _{1} \dots μ _{n}}$ など）。正しくは $n$ に上がるには $λ_{0}, \dots, λ_{n - 1}$ の $n$ 個を使うので $p_{n} = p_{0} \frac{λ _{0} \dots λ _{n - 1}}{μ _{1} \dots μ _{n}}$ 。
平衡方程式の添字をずらして $λ_{n} p_{n} = μ_{n} p_{n + 1}$ としてしまう誤り。正しくは $n + 1 \to n$ の退去は状態 $n + 1$ の率なので $λ_{n} p_{n} = μ_{n + 1} p_{n + 1}$ 。
和 $S$ で $n = 0$ の項 $1$ を落とし、例えば $λ_{n} = λ, μ_{n} = μ$ で $p_{0} = \frac{1}{\sum _{n \geq 1} ρ ^{n}}$ としてしまう誤り（ $ρ = λ / μ$ ）。正しくは $S = \sum_{n \geq 0} ρ^{n} = \frac{1}{1 - ρ}$ で $p_{0} = 1 - ρ$ 。
和の収束を確かめずに公式を使う誤り。例えば $λ_{n} = 3, μ_{n} = 2$ では $S = \sum_{n \geq 0} (\frac{3}{2})^{n}$ が発散するので $p_{0} = 1 - \frac{3}{2} = - \frac{1}{2}$ などとはならず、定常分布は存在しない（ $ρ < 1$ が必要）。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

M/M/1 待ち行列とリトルの公式（大学数学オペレーションズ・リサーチ）