オペレーションズ・リサーチの問題

ある検査センターには、受付（窓口 $1$）と検査室（窓口 $2$）がある。客は外部から到着率 $4$（人/時）のポアソン過程に従って受付に到着する。運営のしくみは次のとおりである。

• 受付には係員が $1$ 人いて、サービス時間は平均 $\frac{1}{10}$ 時間の指数分布に従う。
• 受付を終えた客は、すべて検査室へ進む。検査室には検査員が $2$ 人いて、客は $1$ 列に並び、空いた検査員から先着順に検査を受ける。各検査員の検査時間は平均 $\frac{1}{3}$ 時間の指数分布に従う。
• 検査を終えた客は、確率 $\frac{1}{5}$ で再検査のため受付に戻って再び並び、確率 $\frac{4}{5}$ でセンターを去る。この行き先の選択は、毎回ほかのすべてと独立に行われる。

どちらの窓口も待合室の容量に制限はなく、受付も先着順である。すべてのサービス時間は互いに独立であり、外部からの到着とも独立とする。この系が定常状態にあるとき、$1$ 人の客がセンターに到着してから去るまでにセンター内で過ごす時間（待ち時間とサービス時間をすべて含み、何回受付に戻ってもその分も含める）の平均を、時間を単位として求めよ。

ある窓口に、客が到着率 $\lambda =4$（人/時）のポアソン過程に従って到着する。この窓口の運営について、次の 2 つの案を比べる。

• 案 A: 窓口係を $2$ 人置き、客は $1$ 列に並んで、空いた窓口係から先着順にサービスを受ける。各窓口係のサービス時間は互いに独立に、平均 $\frac{1}{3}$ 時間の指数分布に従う（M/M/2 モデル）。
• 案 B: 窓口係を $1$ 人だけ置き、客は先着順にサービスを受ける。サービス時間は平均 $\frac{1}{\mu }$ 時間の指数分布に従う（M/M/1 モデル）。ただし $\mu >4$ とする。

どちらの案でも待合室の容量に制限はなく、系は定常状態にあるとする。客 $1$ 人が系に滞在する平均時間（待ち時間とサービス時間の和）が、案 B でちょうど案 A と等しくなるような $\mu$（人/時）を求めよ。

ある検査センターには窓口 $1$（受付）と窓口 $2$（検査）がある。客は外部から到着率 $6$（人/時）のポアソン過程に従って窓口 $1$ に到着する。

• 窓口 $1$ には係員が $1$ 人いる。サービス時間は平均 $6$ 分の指数分布に従う。
• 窓口 $1$ を終えた客は、全員が窓口 $2$ へ進む。窓口 $2$ には検査員が $2$ 人いて、客は $1$ 列に並び、空いた検査員から先着順にサービスを受ける。検査員 $1$ 人あたりのサービス時間は平均 $12$ 分の指数分布に従う。
• 窓口 $2$ を終えた客は、確率 $\frac{1}{4}$ で再検査のために窓口 $1$ に戻って並び直し、確率 $\frac{3}{4}$ でセンターを退出する。この振り分けは、過去の経緯とは独立に毎回行われる。

どちらの窓口も待合室の容量に制限はなく、先着順でサービスする。すべてのサービス時間・到着・振り分けは互いに独立であり、サービス時間は訪問のたびに新たに上の分布に従う。系が定常状態にあるとき、客が外部から到着してから最終的にセンターを退出するまでの平均滞在時間は何分か。

ある修理受付カウンターに、客が到着率 $\lambda =6$（人/時）のポアソン過程に従って到着する。カウンターには $c$ 人（$c$ は正の整数）の係員を置き、客は $1$ 列に並んで、空いた係員から先着順にサービスを受ける。各係員のサービス時間は互いに独立で、平均 $15$ 分の指数分布に従う。待合室の広さに制限はなく、到着した客は必ず列に加わり、途中で離脱しない。

ここで「平均待ち時間」とは、客が到着してからサービスを受け始めるまでの時間の平均であり、サービスを受けている時間は含めない。定常状態での客 $1$ 人あたりの平均待ち時間が $3$ 分以下となるような最小の $c$ をとるとき、定常状態での平均系内人数（列に並んでいる客とサービス中の客の合計の平均）を求めよ。

あるコーヒースタンドには店員が $1$ 人だけいて、客を $1$ 列に並ばせ、先着順に $1$ 人ずつ注文を受けて商品を渡す。客は到着率 $\lambda =12$（人/時）のポアソン過程に従って到着し、$1$ 人あたりのサービス時間は互いに独立に平均 $4$ 分の指数分布に従う。待ち行列の長さに上限はなく、到着した客は必ず列に並ぶものとする。この系を M/M/1 待ち行列とみなすとき、定常状態において、客がサービスを受け始めるまでに列で待つ時間の平均 $W_q$ は何分か。