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オペレーションズ・リサーチの問題

難易度 3期末試験の応用レベル大学数学オペレーションズ・リサーチ

ある修理受付カウンターに、客が到着率 $λ = 6$ （人/時）のポアソン過程に従って到着する。カウンターには $c$ 人（ $c$ は正の整数）の係員を置き、客は $1$ 列に並んで、空いた係員から先着順にサービスを受ける。各係員のサービス時間は互いに独立で、平均 $15$ 分の指数分布に従う。待合室の広さに制限はなく、到着した客は必ず列に加わり、途中で離脱しない。

ここで「平均待ち時間」とは、客が到着してからサービスを受け始めるまでの時間の平均であり、サービスを受けている時間は含めない。定常状態での客 $1$ 人あたりの平均待ち時間が $3$ 分以下となるような最小の $c$ をとるとき、定常状態での平均系内人数（列に並んでいる客とサービス中の客の合計の平均）を求めよ。

この問題で使うもの

M/M/c 待ち行列（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（86 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

サービス率 $μ$ と $a = λ / μ$ を求め、定常状態が存在する $c$ の範囲を調べてから、小さい $c$ から順に、サービス開始までの平均待ち時間 $W_{q}$ を計算しましょう。

ヒント 2

M/M/ $c$ では $P_{0} = [\sum_{k = 0}^{c - 1} \frac{a ^{k}}{k !} + \frac{a ^{c}}{c ! ( 1 - ρ )}]^{- 1}$ , $L_{q} = \frac{P _{0} a ^{c} ρ}{c ! ( 1 - ρ ) ^{2}}$ , $W_{q} = L_{q} / λ$ です。時間の単位をそろえることに注意しましょう。

ヒント 3

$c = 2$ では $W_{q} = \frac{9}{28}$ 時間で条件を満たしません。 $c = 3$ では $P_{0} = \frac{4}{19}$ となります。最後に平均系内人数は $L = L_{q} + λ / μ$ で求めます。

答えと解説

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\frac{33}{19}

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解説を読む

係員 $1$ 人あたりのサービス率は $μ = \frac{60}{15} = 4$ （人/時）であり、 $a = \frac{λ}{μ} = \frac{3}{2}$ である。この系は M/M/ $c$ 待ち行列で、定常状態が存在するには $ρ = \frac{a}{c} < 1$ 、すなわち $c \geq 2$ が必要である。

M/M/ $c$ の公式は
$P_{0} = [k = 0 \sum c - 1 \frac{a ^{k}}{k !} + \frac{a ^{c}}{c ! ( 1 - ρ )}]^{- 1}, L_{q} = \frac{P _{0} a ^{c} ρ}{c ! ( 1 - ρ ) ^{2}}, W_{q} = \frac{L _{q}}{λ}$
である（ $L_{q}$ は列に並んでいる平均人数、 $W_{q}$ はサービスを受け始めるまでの平均待ち時間で、リトルの公式による）。問題の「平均待ち時間」は $W_{q}$ である。

$c = 2$ のとき. $ρ = \frac{3}{4}$ で
$P_{0} = [1 + \frac{3}{2} + \frac{9/4}{2 \cdot \frac{1}{4}}]^{- 1} = [\frac{5}{2} + \frac{9}{2}]^{- 1} = \frac{1}{7},$
$L_{q} = \frac{\frac{1}{7} \cdot \frac{9}{4} \cdot \frac{3}{4}}{2 \cdot \frac{1}{16}} = \frac{1}{7} \cdot \frac{27}{16} \cdot 8 = \frac{27}{14}, W_{q} = \frac{27/14}{6} = \frac{9}{28} h \approx 19.3 min .$
$3$ 分を超えるので不適。

$c = 3$ のとき. $ρ = \frac{1}{2}$ で
$P_{0} = [1 + \frac{3}{2} + \frac{9}{8} + \frac{27/8}{6 \cdot \frac{1}{2}}]^{- 1} = [1 + \frac{3}{2} + \frac{9}{8} + \frac{9}{8}]^{- 1} = [\frac{19}{4}]^{- 1} = \frac{4}{19},$
$L_{q} = \frac{\frac{4}{19} \cdot \frac{27}{8} \cdot \frac{1}{2}}{6 \cdot \frac{1}{4}} = \frac{4}{19} \cdot \frac{27}{16} \cdot \frac{2}{3} = \frac{9}{38}, W_{q} = \frac{9/38}{6} = \frac{3}{76} h = \frac{45}{19} min \approx 2.37 min .$
$3$ 分以下なので条件を満たす。よって最小の $c$ は $3$ である。

平均系内人数. サービス中の平均人数は $a = \frac{λ}{μ} = \frac{3}{2}$ なので
$L = L_{q} + \frac{λ}{μ} = \frac{9}{38} + \frac{3}{2} = \frac{9}{38} + \frac{57}{38} = \frac{66}{38} = \frac{33}{19} .$

別解

M/M/c 待ち行列。 $λ = 6$ 人/時、 $μ = 60/15 = 4$ 人/時、 $a = λ / μ = 1.5$ 。安定には $c > 1.5$ すなわち $c \geq 2$ 。

平均待ち時間 $W_{q} = \frac{C ( c , a )}{c μ - λ}$ 、ここで $C (c, a) = \frac{\frac{a ^{c}}{c !} \frac{1}{1 - ρ}}{\sum _{k = 0}^{c - 1} \frac{a ^{k}}{k !} + \frac{a ^{c}}{c !} \frac{1}{1 - ρ}}$ （ $ρ = a / c$ ）はアーラン C 式。

$c = 2$ : $ρ = 0.75$ 。 $\sum_{k = 0}^{1} = 1 + 1.5 = 2.5$ 、 $\frac{a ^{2}}{2 !} \frac{1}{1 - ρ} = 1.125/0.25 = 4.5$ 。 $C = 4.5/7 = 9/14$ 。 $W_{q} = \frac{9/14}{8 - 6} = \frac{9}{28}$ 時間 $\approx 19.3$ 分 $> 3$ 分。不適。
$c = 3$ : $ρ = 0.5$ 。 $\sum_{k = 0}^{2} = 1 + 1.5 + 1.125 = 3.625$ 、 $\frac{a ^{3}}{3 !} \frac{1}{1 - ρ} = 0.5625/0.5 = 1.125$ 。合計 $4.75$ 、 $C = 1.125/4.75 = 9/38$ 。 $W_{q} = \frac{9/38}{12 - 6} = \frac{3}{76}$ 時間 $\approx 2.37$ 分 $\leq 3$ 分。適する。

よって $c = 3$ 。

平均待ち行列長 $L_{q} = λ W_{q} = 6 \times \frac{3}{76} = \frac{9}{38}$ 。サービス中の平均人数 $= a = \frac{3}{2}$ 。平均系内人数 $L = L_{q} + a = \frac{9}{38} + \frac{57}{38} = \frac{66}{38} = \frac{33}{19} \approx 1.737$ 。

検算: $L = λW = 6 (\frac{3}{76} + \frac{1}{4}) = 6 \cdot \frac{3 + 19}{76} = \frac{132}{76} = \frac{33}{19}$ 。一致。

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