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オペレーションズ・リサーチの問題

難易度 3期末試験の応用レベル大学数学オペレーションズ・リサーチ

ある窓口には、客が平均到着率 $λ = 6$ （人/時）のポアソン過程に従って到着する。窓口の運営方法として、次の 2 案を比べる。

案 A: 窓口係を 1 人置く。サービス時間は平均 $\frac{1}{8}$ 時間の指数分布に従う（サービス率 $μ_{A} = 8$ （人/時））。
案 B: 窓口係を 2 人置き、客は 1 列に並んで、空いた窓口係から先着順にサービスを受ける。各窓口係のサービス時間は互いに独立に平均 $\frac{1}{4}$ 時間の指数分布に従う（1 人あたりのサービス率 $μ_{B} = 4$ （人/時））。

すなわち案 A は M/M/1 モデル、案 B は M/M/2 モデルである。待合室の容量に制限はなく、どちらの案でも系は定常状態にあるものとする。客が到着してからサービスを終えて出ていくまでの平均時間（平均系内滞在時間）について、案 B の値は案 A の値より何分長いか求めよ。

この問題で使うもの

M/M/1 待ち行列とリトルの公式（説明と入口の問題）
M/M/c 待ち行列（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（86 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

案 A は M/M/1、案 B は M/M/2 として、それぞれの平均系内人数または平均待ち時間を求め、リトルの公式 $L = λW$ で時間に直します。最後に単位を分に直すのを忘れずに。

ヒント 2

M/M/1 では $W = \frac{1}{μ - λ}$ 。M/M/c では $a = λ / μ$ 、 $ρ = λ / (c μ)$ として $P_{0} = [\sum_{n = 0}^{c - 1} \frac{a ^{n}}{n !} + \frac{a ^{c}}{c ! ( 1 - ρ )}]^{- 1}$ 、 $L_{q} = \frac{P _{0} a ^{c} ρ}{c ! ( 1 - ρ ) ^{2}}$ 、 $W = \frac{L _{q}}{λ} + \frac{1}{μ}$ を使います。

ヒント 3

案 A は $W_{A} = \frac{1}{8 - 6} = \frac{1}{2}$ 時間。案 B は $a = \frac{3}{2}$ 、 $ρ = \frac{3}{4}$ で $P_{0} = \frac{1}{7}$ 、 $L_{q} = \frac{27}{14}$ となります。ここから $W_{B}$ を求めて差をとりましょう。

答えと解説

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\frac{30}{7}

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解説を読む

案 A（M/M/1）

利用率は $ρ_{A} = \frac{λ}{μ _{A}} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4} < 1$ なので定常状態が存在する。M/M/1 の平均系内人数は
$L_{A} = \frac{ρ _{A}}{1 - ρ _{A}} = \frac{3/4}{1/4} = 3$
リトルの公式 $L = λW$ より、平均系内滞在時間は
$W_{A} = \frac{L _{A}}{λ} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} (時間)$
（ $W_{A} = \frac{1}{μ _{A} - λ} = \frac{1}{2}$ と直接求めてもよい。）

案 B（M/M/2）

$c = 2$ 、 $a = \frac{λ}{μ _{B}} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$ 、利用率 $ρ = \frac{λ}{c μ _{B}} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4} < 1$ なので定常状態が存在する。

系内が空である確率 $P_{0}$ は
$P_{0} = [n = 0 \sum c - 1 \frac{a ^{n}}{n !} + \frac{a ^{c}}{c ! ( 1 - ρ )}]^{- 1} = [1 + \frac{3}{2} + \frac{( 3/2 ) ^{2}}{2 \cdot \frac{1}{4}}]^{- 1} = [\frac{5}{2} + \frac{9}{2}]^{- 1} = \frac{1}{7}$

待ち行列の平均人数（サービス中の客を除く）は
$L_{q} = \frac{P _{0} a ^{c} ρ}{c ! ( 1 - ρ ) ^{2}} = \frac{\frac{1}{7} \cdot \frac{9}{4} \cdot \frac{3}{4}}{2 \cdot \frac{1}{16}} = \frac{1}{7} \cdot \frac{27}{16} \cdot 8 = \frac{27}{14}$

リトルの公式より平均待ち時間は
$W_{q} = \frac{L _{q}}{λ} = \frac{27}{14 \cdot 6} = \frac{9}{28} (時間)$
これに平均サービス時間 $\frac{1}{μ _{B}} = \frac{1}{4} = \frac{7}{28}$ 時間を加えて
$W_{B} = \frac{9}{28} + \frac{7}{28} = \frac{16}{28} = \frac{4}{7} (時間)$

（確認: 平均系内人数は $L_{B} = L_{q} + a = \frac{27}{14} + \frac{21}{14} = \frac{24}{7}$ で、 $\frac{L _{B}}{λ} = \frac{24}{42} = \frac{4}{7}$ と一致する。）

差
$W_{B} - W_{A} = \frac{4}{7} - \frac{1}{2} = \frac{1}{14} (時間) = \frac{60}{14} = \frac{30}{7} (分)$

したがって、案 B の平均系内滞在時間は案 A より $\frac{30}{7}$ 分（約 4.3 分）長い。待ち時間だけなら案 B（ $\frac{9}{28}$ 時間）は案 A（ $W_{A} - \frac{1}{8} = \frac{3}{8}$ 時間）より短いが、1 人あたりのサービス時間が長いため、滞在時間全体では案 B のほうが長くなる。

別解

案 A（M/M/1）: $ρ = λ / μ_{A} = 6/8 < 1$ 。平均系内滞在時間は $W_{A} = \frac{1}{μ _{A} - λ} = \frac{1}{8 - 6} = \frac{1}{2}$ 時間 $= 30$ 分。

案 B（M/M/2）: $a = λ / μ_{B} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$ 、 $ρ = a /2 = \frac{3}{4} < 1$ 。
空き確率 $P_{0} = [1 + a + \frac{a ^{2}}{2 ( 1 - ρ )}]^{- 1} = [1 + \frac{3}{2} + \frac{9/4}{1/2}]^{- 1} = [1 + \frac{3}{2} + \frac{9}{2}]^{- 1} = \frac{1}{7}$ 。
平均待ち行列長 $L_{q} = \frac{P _{0} a ^{2} ρ}{2 ! ( 1 - ρ ) ^{2}} = \frac{\frac{1}{7} \cdot \frac{9}{4} \cdot \frac{3}{4}}{2 \cdot \frac{1}{16}} = \frac{1}{7} \cdot \frac{27/16}{1/8} = \frac{27}{14}$ 。
リトルの公式より $W_{q} = L_{q} / λ = \frac{27}{14 \cdot 6} = \frac{9}{28}$ 時間。
$W_{B} = W_{q} + \frac{1}{μ _{B}} = \frac{9}{28} + \frac{1}{4} = \frac{16}{28} = \frac{4}{7}$ 時間 $= \frac{240}{7}$ 分。

検算: M/M/2 では $W = \frac{1}{μ ( 1 - ρ ^{2} )} = \frac{1}{4 \cdot ( 1 - 9/16 )} = \frac{1}{7/4} = \frac{4}{7}$ 時間で一致。

差は $\frac{240}{7} - 30 = \frac{30}{7}$ 分（約 4.29 分）。

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