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オペレーションズ・リサーチの問題

難易度 3期末試験の応用レベル証明問題大学数学オペレーションズ・リサーチ

客が到着率 $λ > 0$ のポアソン過程に従って到着する、待合室の容量に制限のない次の 2 つの待ち行列システムを考える。 $μ > 0$ とし、 $λ < 2 μ$ とする。

システム A: 窓口が 1 つで、サービス時間は平均 $\frac{1}{2 μ}$ の指数分布に従う（M/M/1）。
システム B: 窓口が 2 つで、各窓口のサービス時間は平均 $\frac{1}{μ}$ の指数分布に従う（M/M/2）。客は空いている窓口があればすぐにサービスを受け、なければ 1 列に並んで先着順に待つ。

どちらのシステムでも、サービス時間は互いに独立で到着とも独立とする。系内人数（待っている客とサービス中の客の合計）の定常分布を ${p_{n}}_{n \geq 0}$ とすると、系内人数が $n$ 人のときのサービス終了率を $μ_{n}$ として、定常分布はつり合いの式
$λ p_{n} = μ_{n + 1} p_{n + 1} (n = 0, 1, 2, \dots), n = 0 \sum \infty p_{n} = 1$
のただ 1 つの解であることを用いてよい（ $μ_{n}$ は各システムの設定から定まる）。

定常状態における平均系内人数を、システム A について $L_{A}$ 、システム B について $L_{B}$ とするとき、 $L_{A} < L_{B}$ であることを証明せよ。

この問題で使うもの

出生死滅過程の定常分布（説明と入口の問題）
M/M/1 待ち行列とリトルの公式（説明と入口の問題）
M/M/c 待ち行列（説明と入口の問題）
等差・等比数列の和と Σ（説明と入口の問題）
無限等比級数と無限級数（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（86 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

両方のシステムについて、つり合いの式から定常分布 $p_{n}$ を求め、平均系内人数を具体的な式で表してから比べる。 $ρ = λ / (2 μ)$ とおくと見通しがよい。

ヒント 2

システム B では、系内人数が 1 人のときだけサービス終了率が $μ$ で、2 人以上では $2 μ$ になる。 $\sum_{n \geq 1} n x^{n} = \frac{x}{( 1 - x ) ^{2}}$ を使う。

ヒント 3

システム A では $p_{n} = (1 - ρ) ρ^{n}$ となる。システム B では $p_{1} = 2 ρ p_{0}$ 、 $n \geq 1$ で $p_{n} = 2 ρ^{n} p_{0}$ となるので、正規化条件から $p_{0}$ を求める。

採点の観点と模範解答

自分で証明を書いてから、採点の観点で見比べてください。

採点の観点を見る

$ρ = λ / (2 μ)$ とおき、 $0 < ρ < 1$ を確認したうえで、各システムのサービス終了率 $μ_{n}$ （B では $μ_{1} = μ$ 、 $n \geq 2$ で $2 μ$ ）を正しく定めている（2 点）
システム A の定常分布 $p_{n} = (1 - ρ) ρ^{n}$ を導き、 $L_{A} = ρ / (1 - ρ)$ を求めている（2 点）
システム B で $p_{n} = 2 ρ^{n} p_{0}$ （ $n \geq 1$ ）と正規化条件から $p_{0} = (1 - ρ) / (1 + ρ)$ を導いている（3 点）
級数の公式を使って $L_{B} = 2 ρ / ((1 + ρ) (1 - ρ))$ を求めている（2 点）
差（または比）を計算して正であることを示し、 $L_{A} < L_{B}$ と結論している（1 点）

結果を記録する（このブラウザにだけ保存されます）:

模範解答を読む

$ρ = \frac{λ}{2 μ}$ とおくと、仮定 $0 < λ < 2 μ$ より $0 < ρ < 1$ である。以下で $∣ x ∣ < 1$ に対する等比級数とその項別微分から得られる公式
$n = 1 \sum \infty x^{n} = \frac{x}{1 - x}, n = 1 \sum \infty n x^{n} = \frac{x}{( 1 - x ) ^{2}}$
を $x = ρ$ として使う（ $0 < ρ < 1$ なのでどちらも収束する）。

ステップ 1（システム A の定常分布と $L_{A}$ ） 窓口は 1 つでサービス率は $2 μ$ なので、系内人数が $n \geq 1$ のとき $μ_{n} = 2 μ$ である。つり合いの式から $p_{n + 1} = \frac{λ}{2 μ} p_{n} = ρ p_{n}$ となり、 $p_{n} = ρ^{n} p_{0}$ （ $n \geq 0$ ）。正規化条件より
$p_{0} n = 0 \sum \infty ρ^{n} = \frac{p _{0}}{1 - ρ} = 1 より p_{0} = 1 - ρ .$
よって
$L_{A} = n = 0 \sum \infty n p_{n} = (1 - ρ) n = 1 \sum \infty n ρ^{n} = (1 - ρ) \cdot \frac{ρ}{( 1 - ρ ) ^{2}} = \frac{ρ}{1 - ρ} .$

ステップ 2（システム B の定常分布） 窓口は 2 つで各窓口のサービス率は $μ$ である。系内人数が $1$ のときはサービス中の客が 1 人なので $μ_{1} = μ$ 、系内人数が $n \geq 2$ のときは 2 つの窓口がともにサービス中なので $μ_{n} = 2 μ$ である。つり合いの式より
$p_{1} = \frac{λ}{μ} p_{0} = 2 ρ p_{0}, p_{n + 1} = \frac{λ}{2 μ} p_{n} = ρ p_{n} (n \geq 1) .$
したがって $n \geq 1$ で $p_{n} = 2 ρ^{n} p_{0}$ である（ $n = 1$ では $2 ρ p_{0}$ 、以後 $ρ$ 倍ずつ）。正規化条件より
$p_{0} (1 + 2 n = 1 \sum \infty ρ^{n}) = p_{0} (1 + \frac{2 ρ}{1 - ρ}) = p_{0} \cdot \frac{1 + ρ}{1 - ρ} = 1 より p_{0} = \frac{1 - ρ}{1 + ρ} .$

ステップ 3（ $L_{B}$ ）
$L_{B} = n = 1 \sum \infty n \cdot 2 ρ^{n} p_{0} = 2 p_{0} \cdot \frac{ρ}{( 1 - ρ ) ^{2}} = 2 \cdot \frac{1 - ρ}{1 + ρ} \cdot \frac{ρ}{( 1 - ρ ) ^{2}} = \frac{2 ρ}{( 1 + ρ ) ( 1 - ρ )} .$

ステップ 4（比較）
$L_{B} - L_{A} = \frac{2 ρ}{( 1 + ρ ) ( 1 - ρ )} - \frac{ρ ( 1 + ρ )}{( 1 + ρ ) ( 1 - ρ )} = \frac{ρ ( 1 - ρ )}{( 1 + ρ ) ( 1 - ρ )} = \frac{ρ}{1 + ρ} .$
$0 < ρ < 1$ より $\frac{ρ}{1 + ρ} > 0$ 。

したがって $L_{A} < L_{B}$ が成り立つ。 $■$

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