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オペレーションズ・リサーチの問題

難易度 4大学院入試の標準レベル大学数学オペレーションズ・リサーチ

ある窓口に、客が到着率 $λ = 4$ （人/時）のポアソン過程に従って到着する。この窓口の運営について、次の 2 つの案を比べる。

案 A: 窓口係を $2$ 人置き、客は $1$ 列に並んで、空いた窓口係から先着順にサービスを受ける。各窓口係のサービス時間は互いに独立に、平均 $\frac{1}{3}$ 時間の指数分布に従う（M/M/2 モデル）。
案 B: 窓口係を $1$ 人だけ置き、客は先着順にサービスを受ける。サービス時間は平均 $\frac{1}{μ}$ 時間の指数分布に従う（M/M/1 モデル）。ただし $μ > 4$ とする。

どちらの案でも待合室の容量に制限はなく、系は定常状態にあるとする。客 $1$ 人が系に滞在する平均時間（待ち時間とサービス時間の和）が、案 B でちょうど案 A と等しくなるような $μ$ （人/時）を求めよ。

この問題で使うもの

M/M/c 待ち行列（説明と入口の問題）
M/M/1 待ち行列とリトルの公式（説明と入口の問題）
出生死滅過程の定常分布（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（86 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

案 A は M/M/2、案 B は M/M/1 です。それぞれの平均滞在時間 $W$ を求めて等しいとおきます。

ヒント 2

M/M/2 では $a = λ / μ_{A}$ 、 $ρ = λ / (2 μ_{A})$ として $p_{0}^{- 1} = 1 + a + \frac{a ^{2}}{2 ( 1 - ρ )}$ 、 $L_{q} = \frac{a ^{2}}{2} p_{0} \frac{ρ}{( 1 - ρ ) ^{2}}$ です。リトルの公式で時間に直し、サービス時間 $1/ μ_{A}$ を足します。M/M/1 では $W = \frac{1}{μ - λ}$ です。

ヒント 3

案 A では $p_{0} = \frac{1}{5}$ 、 $L_{q} = \frac{16}{15}$ 、 $W_{q} = \frac{4}{15}$ 時間となります。あとは $W_{A}$ を求めて $\frac{1}{μ - 4} = W_{A}$ を解きましょう。

答えと解説

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\frac{17}{3}

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解説を読む

案 A（M/M/2） 到着率 $λ = 4$ 、窓口係 1 人あたりのサービス率 $μ_{A} = 3$ 、窓口数 $c = 2$ である。トラフィック密度は
$a = \frac{λ}{μ _{A}} = \frac{4}{3}, ρ = \frac{λ}{c μ _{A}} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} < 1$
なので定常状態が存在する。

系内人数が $n$ である定常確率を $p_{n}$ とすると、出生死滅過程の平衡式から
$p_{1} = a p_{0}, p_{n} = \frac{a ^{2}}{2} ρ^{n - 2} p_{0} (n \geq 2)$
である。全確率が $1$ であることから
$p_{0}^{- 1} = 1 + a + \frac{a ^{2}}{2} \cdot \frac{1}{1 - ρ} = 1 + \frac{4}{3} + \frac{16}{9} \cdot \frac{1}{2} \cdot 3 = 1 + \frac{4}{3} + \frac{8}{3} = 5$
よって $p_{0} = \frac{1}{5}$ 。

待ち行列の平均人数（サービス中の客を除く）は
$L_{q} = n \geq 2 \sum (n - 2) p_{n} = \frac{a ^{2}}{2} p_{0} k \geq 0 \sum k ρ^{k} = \frac{a ^{2}}{2} p_{0} \cdot \frac{ρ}{( 1 - ρ ) ^{2}} = \frac{8}{9} \cdot \frac{1}{5} \cdot \frac{\frac{2}{3}}{\frac{1}{9}} = \frac{8}{9} \cdot \frac{1}{5} \cdot 6 = \frac{16}{15}$
リトルの公式 $L_{q} = λ W_{q}$ より、平均待ち時間は
$W_{q} = \frac{L _{q}}{λ} = \frac{16}{15} \cdot \frac{1}{4} = \frac{4}{15} (時間)$
したがって平均滞在時間は
$W_{A} = W_{q} + \frac{1}{μ _{A}} = \frac{4}{15} + \frac{1}{3} = \frac{4}{15} + \frac{5}{15} = \frac{3}{5} (時間)$
である。

案 B（M/M/1） $μ > λ = 4$ のとき定常状態が存在し、系内人数は $p_{n} = (1 - r) r^{n}$ （ $r = λ / μ$ ）の幾何分布に従う。平均系内人数は $L = \frac{r}{1 - r} = \frac{λ}{μ - λ}$ なので、リトルの公式 $L = λW$ より
$W_{B} = \frac{1}{μ - λ} = \frac{1}{μ - 4}$
である。

等しくなる条件 $W_{B} = W_{A}$ より
$\frac{1}{μ - 4} = \frac{3}{5} ⟺ μ - 4 = \frac{5}{3} ⟺ μ = \frac{17}{3}$
これは $μ > 4$ を満たす。

したがって $μ = \frac{17}{3}$ （人/時）。（総サービス能力は案 A の $6$ 人/時より小さくてよいことがわかる。案 A では客が 1 人しかいないとき窓口係が 1 人遊ぶが、案 B では待ち時間が増える一方でサービス時間が短いため、その兼ね合いでこの値になる。）

別解

案 A(M/M/2):サービス率は 1 人あたり $3$ 人/時、 $λ = 4$ 。利用率 $ρ = \frac{λ}{2 \cdot 3} = \frac{2}{3} < 1$ なので定常状態が存在する。M/M/2 の系内人数の平均は $L_{A} = \frac{2 ρ}{1 - ρ ^{2}}$ 。これは次のように確かめられる。状態 $n$ の定常確率は $p_{n} \propto$ ( $p_{0} = \frac{1 - ρ}{1 + ρ}$ 、 $p_{n} = 2 p_{0} ρ^{n}$ ( $n \geq 1$ ))で、 $p_{0} = \frac{1/3}{5/3} = \frac{1}{5}$ 、 $L_{A} = \sum_{n \geq 1} n \cdot 2 p_{0} ρ^{n} = 2 p_{0} \frac{ρ}{( 1 - ρ ) ^{2}} = \frac{2}{5} \cdot \frac{2/3}{1/9} = \frac{12}{5}$ 。

リトルの法則より $W_{A} = \frac{L _{A}}{λ} = \frac{12/5}{4} = \frac{3}{5}$ 時間。

案 B(M/M/1):平均滞在時間は $W_{B} = \frac{1}{μ - λ} = \frac{1}{μ - 4}$ 。 $W_{B} = W_{A}$ とおくと $μ - 4 = \frac{5}{3}$ 、 $μ = \frac{17}{3}$ 。これは $μ > 4$ を満たす。

検算: $μ = \frac{17}{3}$ のとき $W_{B} = \frac{1}{17/3 - 4} = \frac{1}{5/3} = \frac{3}{5}$ で一致。別法として $L_{q} = \frac{p _{0} a ^{2} ρ}{2 ( 1 - ρ ) ^{2}}$ ( $a = \frac{4}{3}$ ) $= \frac{16}{15}$ 、 $W_{A} = \frac{L _{q}}{λ} + \frac{1}{3} = \frac{4}{15} + \frac{5}{15} \cdot$ ... すなわち $\frac{4}{15} + \frac{1}{3} = \frac{9}{15} = \frac{3}{5}$ で一致。

よって $μ = \frac{17}{3}$ (人/時)。

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