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オペレーションズ・リサーチの問題

難易度 3期末試験の応用レベル大学数学オペレーションズ・リサーチ

ある役所の受付に、客が平均到着率 $λ = 6$ （人/時）のポアソン過程に従って到着する。受付の体制として次の 2 案を考える。

案 A：窓口を 1 つだけ置き、1 人あたりのサービス時間が平均 $\frac{1}{8}$ 時間の指数分布に従う職員 1 人が担当する（M/M/1 モデル）。
案 B：窓口を 2 つ置き、それぞれ 1 人あたりのサービス時間が平均 $\frac{1}{4}$ 時間の指数分布に従う職員が担当する。待ち行列は 1 列で、空いた窓口に先頭の客から順に入る（M/M/2 モデル）。

いずれの案でも待合室の容量に制限はなく、系は定常状態にあるものとする。客が到着してからサービスを終えて立ち去るまでの平均時間（平均系内滞在時間）について、案 B の値は案 A の値より何分長いか求めよ。

この問題で使うもの

M/M/1 待ち行列とリトルの公式（説明と入口の問題）
M/M/c 待ち行列（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（86 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

案 A は M/M/1、案 B は M/M/2 の公式で、それぞれ平均系内滞在時間 $W$ を求めて比べましょう。単位（時間と分）に注意します。

ヒント 2

M/M/1 では $W = \frac{1}{μ - λ}$ 。M/M/c では $P_{0} = [\sum_{n = 0}^{c - 1} \frac{a ^{n}}{n !} + \frac{a ^{c}}{c ! ( 1 - ρ )}]^{- 1}$ , $L_{q} = \frac{P _{0} a ^{c} ρ}{c ! ( 1 - ρ ) ^{2}}$ を使い、リトルの公式 $W_{q} = \frac{L _{q}}{λ}$ , $W = W_{q} + \frac{1}{μ}$ で滞在時間にします。

ヒント 3

案 A は $W_{A} = \frac{1}{2}$ 時間 $= 30$ 分。案 B は $a = \frac{3}{2}$ , $ρ = \frac{3}{4}$ で $P_{0} = \frac{1}{7}$ , $L_{q} = \frac{27}{14}$ となります。ここから $W_{q}$ と $W_{B}$ を計算しましょう。

答えと解説

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\frac{30}{7}

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解説を読む

案 A（M/M/1）

$λ = 6$ , $μ = 8$ で、利用率は $ρ = \frac{λ}{μ} = \frac{3}{4} < 1$ なので定常状態が存在する。M/M/1 の平均系内滞在時間は
$W_{A} = \frac{1}{μ - λ} = \frac{1}{8 - 6} = \frac{1}{2} (時間) = 30 (分)$
である。

案 B（M/M/2）

$λ = 6$ , 各窓口のサービス率 $μ = 4$ , 窓口数 $c = 2$ とする。 $a = \frac{λ}{μ} = \frac{3}{2}$ , 利用率 $ρ = \frac{λ}{c μ} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4} < 1$ なので定常状態が存在する。

系内人数が $0$ である確率 $P_{0}$ は
$P_{0} = [n = 0 \sum c - 1 \frac{a ^{n}}{n !} + \frac{a ^{c}}{c ! ( 1 - ρ )}]^{- 1} = [1 + \frac{3}{2} + \frac{\frac{9}{4}}{2 \cdot \frac{1}{4}}]^{- 1} = [1 + \frac{3}{2} + \frac{9}{2}]^{- 1} = \frac{1}{7} .$

待ち行列の平均長（待っている人数の平均）は
$L_{q} = \frac{P _{0} a ^{c} ρ}{c ! ( 1 - ρ ) ^{2}} = \frac{\frac{1}{7} \cdot \frac{9}{4} \cdot \frac{3}{4}}{2 \cdot \frac{1}{16}} = \frac{1}{7} \cdot \frac{27}{16} \cdot 8 = \frac{27}{14} .$

リトルの公式 $L_{q} = λ W_{q}$ より、平均待ち時間は
$W_{q} = \frac{L _{q}}{λ} = \frac{27}{14} \cdot \frac{1}{6} = \frac{9}{28} (時間) .$

平均系内滞在時間は、待ち時間に平均サービス時間 $\frac{1}{μ} = \frac{1}{4}$ を加えて
$W_{B} = W_{q} + \frac{1}{μ} = \frac{9}{28} + \frac{7}{28} = \frac{16}{28} = \frac{4}{7} (時間) = \frac{240}{7} (分) .$

（確認：平均系内人数は $L = L_{q} + a = \frac{27}{14} + \frac{21}{14} = \frac{48}{14} = \frac{24}{7}$ で、リトルの公式から $W_{B} = \frac{L}{λ} = \frac{24}{7} \cdot \frac{1}{6} = \frac{4}{7}$ 時間となり一致する。）

差
$W_{B} - W_{A} = \frac{240}{7} - 30 = \frac{240 - 210}{7} = \frac{30}{7} (分) .$

よって案 B のほうが $\frac{30}{7}$ 分（約 $4.3$ 分）長い。総処理能力が同じでも、速い窓口 1 つのほうが平均系内滞在時間は短くなる。

別解

案 A（M/M/1）： $λ = 6$ , $μ = 8$ なので $W_{A} = \frac{1}{μ - λ} = \frac{1}{2}$ 時間 $= 30$ 分。

案 B（M/M/2）：各窓口 $μ = 4$ , $c = 2$ 。 $a = λ / μ = \frac{3}{2}$ , $ρ = \frac{a}{c} = \frac{3}{4} < 1$ で定常状態が存在する。
系が空の確率 $P_{0} = [1 + a + \frac{a ^{2}}{2 ! ( 1 - ρ )}]^{- 1} = [1 + \frac{3}{2} + \frac{9/4}{2 \cdot \frac{1}{4}}]^{- 1} = [1 + \frac{3}{2} + \frac{9}{2}]^{- 1} = \frac{1}{7}$ 。
平均待ち行列長 $L_{q} = \frac{P _{0} a ^{c} ρ}{c ! ( 1 - ρ ) ^{2}} = \frac{\frac{1}{7} \cdot \frac{9}{4} \cdot \frac{3}{4}}{2 \cdot \frac{1}{16}} = \frac{1}{7} \cdot \frac{27/16}{1/8} = \frac{27}{14}$ 。
リトルの法則より $W_{q} = \frac{L _{q}}{λ} = \frac{27}{84} = \frac{9}{28}$ 時間。
$W_{B} = W_{q} + \frac{1}{μ} = \frac{9}{28} + \frac{1}{4} = \frac{16}{28} = \frac{4}{7}$ 時間 $= \frac{240}{7}$ 分。

差： $\frac{240}{7} - 30 = \frac{30}{7}$ 分（約 4.29 分）。

検算： $L = λ W_{B} = 6 \cdot \frac{4}{7} = \frac{24}{7}$ 。一方 $L = L_{q} + a = \frac{27}{14} + \frac{3}{2} = \frac{27 + 21}{14} = \frac{24}{7}$ で一致。

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