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オペレーションズ・リサーチの問題

難易度 3期末試験の応用レベル大学数学オペレーションズ・リサーチ

ある検査センターには窓口 $1$ （受付）と窓口 $2$ （検査）がある。客は外部から到着率 $6$ （人/時）のポアソン過程に従って窓口 $1$ に到着する。

窓口 $1$ には係員が $1$ 人いる。サービス時間は平均 $6$ 分の指数分布に従う。
窓口 $1$ を終えた客は、全員が窓口 $2$ へ進む。窓口 $2$ には検査員が $2$ 人いて、客は $1$ 列に並び、空いた検査員から先着順にサービスを受ける。検査員 $1$ 人あたりのサービス時間は平均 $12$ 分の指数分布に従う。
窓口 $2$ を終えた客は、確率 $\frac{1}{4}$ で再検査のために窓口 $1$ に戻って並び直し、確率 $\frac{3}{4}$ でセンターを退出する。この振り分けは、過去の経緯とは独立に毎回行われる。

どちらの窓口も待合室の容量に制限はなく、先着順でサービスする。すべてのサービス時間・到着・振り分けは互いに独立であり、サービス時間は訪問のたびに新たに上の分布に従う。系が定常状態にあるとき、客が外部から到着してから最終的にセンターを退出するまでの平均滞在時間は何分か。

この問題で使うもの

M/M/1 待ち行列とリトルの公式（説明と入口の問題）
M/M/c 待ち行列（説明と入口の問題）
出生死滅過程の定常分布（説明と入口の問題）
平方完成と 2 次関数のグラフ（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（86 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

再検査で戻ってくる客がいるので、まず各窓口への実際の到着率（外部到着＋戻り）を求めましょう。ジャクソン・ネットワークとして各窓口を独立な M/M/c とみなせます。

ヒント 2

トラフィック方程式 $Λ_{1} = 6 + \frac{1}{4} Λ_{2}, Λ_{2} = Λ_{1}$ を解き、窓口 1 は M/M/1、窓口 2 は M/M/2 の公式で平均系内人数を出し、最後に全体にリトルの公式 $L = λW$ （ $λ$ は外部到着率）を使います。

ヒント 3

$Λ_{1} = Λ_{2} = 8$ 、 $L_{1} = 4$ 、窓口 2 は $ρ = 0.8$ の M/M/2 で $L_{2} = \frac{2 ρ}{1 - ρ ^{2}}$ です。あとは合計を $6$ で割って分に直すだけです。

答えと解説

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\frac{760}{9}

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解説を読む

このネットワークは、各窓口が指数サービスの複数窓口（または単一窓口）で、外部到着がポアソン過程、振り分けが確率的で独立なので、開放型ジャクソン・ネットワークである。

1. トラフィック方程式

窓口 $1, 2$ への総到着率を $Λ_{1}, Λ_{2}$ （人/時）とすると
$Λ_{1} = 6 + \frac{1}{4} Λ_{2}, Λ_{2} = Λ_{1} .$
よって $\frac{3}{4} Λ_{1} = 6$ より $Λ_{1} = Λ_{2} = 8$ 。

2. 各窓口の平均系内人数

ジャクソンの定理により、定常状態では各窓口は到着率 $Λ_{i}$ の独立な M/M/ $c$ 待ち行列として振る舞う（安定条件を満たすことは下で確認する）。

窓口 $1$ （M/M/1）： $μ_{1} = 10$ （人/時）、 $ρ_{1} = \frac{8}{10} = 0.8 < 1$ 。
$L_{1} = \frac{ρ _{1}}{1 - ρ _{1}} = \frac{0.8}{0.2} = 4.$

窓口 $2$ （M/M/2）： $μ_{2} = 5$ （人/時）、 $a = \frac{Λ _{2}}{μ _{2}} = \frac{8}{5}$ 、利用率 $ρ_{2} = \frac{a}{2} = 0.8 < 1$ 。
空の確率は
$P_{0} = (1 + a + \frac{a ^{2}}{2} \cdot \frac{1}{1 - ρ _{2}})^{- 1} = (1 + 1.6 + \frac{2.56}{2} \cdot 5)^{- 1} = \frac{1}{9} .$
平均待ち行列長は
$L_{q 2} = \frac{P _{0} a ^{2} ρ _{2}}{2 ! ( 1 - ρ _{2} ) ^{2}} = \frac{\frac{1}{9} \cdot 2.56 \cdot 0.8}{2 \cdot 0.04} = \frac{1}{9} \cdot 25.6 = \frac{128}{45} .$
したがって
$L_{2} = L_{q 2} + a = \frac{128}{45} + \frac{72}{45} = \frac{200}{45} = \frac{40}{9} .$
（M/M/2 の公式 $L = \frac{2 ρ}{1 - ρ ^{2}} = \frac{1.6}{0.36} = \frac{40}{9}$ とも一致する。）

3. リトルの公式

センター全体の平均系内人数は $L = L_{1} + L_{2} = 4 + \frac{40}{9} = \frac{76}{9}$ 。センター全体への到着率は外部到着率 $6$ （人/時）なので、リトルの公式より
$W = \frac{L}{6} = \frac{76}{54} = \frac{38}{27} 時間 = \frac{38}{27} \times 60 = \frac{760}{9} 分 (\approx 84.4 分) .$

（検算：1 回の訪問あたりの平均滞在は窓口 $1$ で $\frac{L _{1}}{8} = \frac{1}{2}$ 時間、窓口 $2$ で $\frac{L _{2}}{8} = \frac{5}{9}$ 時間。各窓口の平均訪問回数は $\frac{Λ _{i}}{6} = \frac{4}{3}$ 回なので、 $\frac{4}{3} (\frac{1}{2} + \frac{5}{9}) = \frac{38}{27}$ 時間で一致する。）

別解

ジャクソン型待ち行列網として解く。

トラヒック方程式: 窓口 $1$ の到着率を $λ_{1}$ 、窓口 $2$ の到着率を $λ_{2}$ とする（単位は人/時）。窓口 $1$ を終えた客は全員窓口 $2$ へ進むので $λ_{2} = λ_{1}$ 。窓口 $2$ からは確率 $1/4$ で窓口 $1$ に戻るので $λ_{1} = 6 + \frac{1}{4} λ_{2}$ 。これより $λ_{1} = λ_{2} = 8$ 。

窓口 $1$ （M/M/1）: 平均サービス時間 $6$ 分より $μ_{1} = 10$ （人/時）。 $ρ_{1} = 0.8$ で、平均系内人数は $L_{1} = ρ_{1} / (1 - ρ_{1}) = 4$ 。

窓口 $2$ （M/M/2）: 平均サービス時間 $12$ 分より検査員 $1$ 人あたり $μ = 5$ （人/時）。1 人あたりの利用率は $ρ = 8/ (2 \cdot 5) = 0.8$ 。M/M/2 の平均系内人数は $L_{2} = \frac{2 ρ}{1 - ρ ^{2}} = \frac{1.6}{0.36} = \frac{40}{9}$ 。

平均滞在時間: ジャクソンの定理より定常分布は積形式で、各窓口を独立な待ち行列として扱える。網全体の平均人数は $L = 4 + \frac{40}{9} = \frac{76}{9}$ 。外部到着率 $6$ （人/時）にリトルの公式を使うと $W = \frac{76/9}{6} = \frac{38}{27}$ 時間 $= \frac{760}{9}$ 分 $\approx 84.4$ 分。

検算: 1 人あたりの訪問回数は $λ_{1} /6 = 4/3$ 回。1 回の訪問での滞在は、窓口 $1$ で $1/ (10 - 8) = 0.5$ 時間、窓口 $2$ で $L_{2} /8 = 5/9$ 時間。合計 $\frac{1}{2} + \frac{5}{9} = \frac{19}{18}$ 時間で、これに $\frac{4}{3}$ を掛けると $\frac{38}{27}$ 時間となり一致する。

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