オペレーションズ・リサーチの問題

難易度 4大学院入試の標準レベル大学数学オペレーションズ・リサーチ

ある検査センターには、受付（窓口 $1$ ）と検査室（窓口 $2$ ）がある。客は外部から到着率 $4$ （人/時）のポアソン過程に従って受付に到着する。運営のしくみは次のとおりである。

受付には係員が $1$ 人いて、サービス時間は平均 $\frac{1}{10}$ 時間の指数分布に従う。
受付を終えた客は、すべて検査室へ進む。検査室には検査員が $2$ 人いて、客は $1$ 列に並び、空いた検査員から先着順に検査を受ける。各検査員の検査時間は平均 $\frac{1}{3}$ 時間の指数分布に従う。
検査を終えた客は、確率 $\frac{1}{5}$ で再検査のため受付に戻って再び並び、確率 $\frac{4}{5}$ でセンターを去る。この行き先の選択は、毎回ほかのすべてと独立に行われる。

どちらの窓口も待合室の容量に制限はなく、受付も先着順である。すべてのサービス時間は互いに独立であり、外部からの到着とも独立とする。この系が定常状態にあるとき、 $1$ 人の客がセンターに到着してから去るまでにセンター内で過ごす時間（待ち時間とサービス時間をすべて含み、何回受付に戻ってもその分も含める）の平均を、時間を単位として求めよ。

この問題で使うもの

M/M/1 待ち行列とリトルの公式（説明と入口の問題）
M/M/c 待ち行列（説明と入口の問題）

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算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

再検査で戻る客も含めた、各窓口への総到着率をまず求めましょう（トラフィック方程式）。そのうえで、ジャクソンネットワークとして各窓口を独立な M/M/1・M/M/2 とみなします。

ヒント 2

$λ_{1} = 4 + \frac{1}{5} λ_{2}$ , $λ_{2} = λ_{1}$ を解きます。M/M/2 の平均系内人数は、利用率 $ρ$ を使うと $L = \frac{2 ρ}{1 - ρ ^{2}}$ と書けます。最後はセンター全体にリトルの公式を使います（到着率は外部からの $4$ 人/時）。

ヒント 3

$λ_{1} = λ_{2} = 5$ となり、受付は $ρ_{1} = \frac{1}{2}$ で $L_{1} = 1$ 、検査室は $ρ_{2} = \frac{5}{6}$ で $L_{2} = \frac{60}{11}$ です。

答えと解説

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\frac{71}{44}

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解説を読む

この系は、外部からポアソン到着があり、各窓口のサービス時間が指数分布で、行き先が独立な確率で決まる開放型ジャクソンネットワークである。

1. トラフィック方程式

受付・検査室への総到着率（外部からの到着と再検査での戻りを合わせたもの）を $λ_{1}, λ_{2}$ とする。受付を出た客はすべて検査室へ行き、検査室を出た客の $\frac{1}{5}$ が受付に戻るので
$λ_{1} = 4 + \frac{1}{5} λ_{2}, λ_{2} = λ_{1} .$
よって $λ_{1} = 4 + \frac{1}{5} λ_{1}$ から $λ_{1} = λ_{2} = 5$ （人/時）。

2. 安定条件とジャクソンの定理

受付の利用率は $ρ_{1} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2} < 1$ 、検査室の $1$ 人あたりの利用率は $ρ_{2} = \frac{5}{2 \cdot 3} = \frac{5}{6} < 1$ なので、定常状態が存在する。ジャクソンの定理により、定常分布は積形式になり、各窓口の系内人数の分布は、到着率 $λ_{i}$ の M/M/1（受付）、M/M/2（検査室）の定常分布と同じになる（戻りがあるため窓口への到着過程自体はポアソン過程ではないが、周辺分布はこのようになる）。

3. 各窓口の平均系内人数

受付（M/M/1）：
$L_{1} = \frac{ρ _{1}}{1 - ρ _{1}} = \frac{1/2}{1/2} = 1.$

検査室（M/M/2, $ρ = ρ_{2} = \frac{5}{6}$ ）：空の確率は
$P_{0} = (1 + 2 ρ + \frac{( 2 ρ ) ^{2}}{2} \cdot \frac{1}{1 - ρ})^{- 1} = \frac{1 - ρ}{1 + ρ} = \frac{1/6}{11/6} = \frac{1}{11} .$
平均待ち人数は
$L_{q} = \frac{P _{0} ( 2 ρ ) ^{2} ρ}{2 ! ( 1 - ρ ) ^{2}} = \frac{2 ρ ^{3}}{1 - ρ ^{2}} = \frac{2 \cdot \frac{125}{216}}{\frac{11}{36}} = \frac{125}{33},$
サービス中の平均人数は $2 ρ = \frac{5}{3}$ なので
$L_{2} = \frac{125}{33} + \frac{5}{3} = \frac{125 + 55}{33} = \frac{60}{11} .$

4. リトルの公式

センター全体の平均系内人数は $L = L_{1} + L_{2} = 1 + \frac{60}{11} = \frac{71}{11}$ 。センター全体への（外部からの）到着率は $4$ 人/時なので、センター全体にリトルの公式 $L = γ W$ を適用して
$W = \frac{L}{4} = \frac{71}{11} \cdot \frac{1}{4} = \frac{71}{44} (時間) .$

（検算： $1$ 回あたりの滞在時間は受付 $W_{1} = \frac{L _{1}}{λ _{1}} = \frac{1}{5}$ 、検査室 $W_{2} = \frac{L _{2}}{λ _{2}} = \frac{12}{11}$ 。各窓口の平均訪問回数は $\frac{λ _{i}}{4} = \frac{5}{4}$ 回なので、 $\frac{5}{4} (\frac{1}{5} + \frac{12}{11}) = \frac{5}{4} \cdot \frac{71}{55} = \frac{71}{44}$ となり一致する。）

よって求める平均は $\frac{71}{44}$ 時間（約 $96.8$ 分）である。

別解

ジャクソン・ネットワークとして解く。

1. 到着率の方程式を立てる。受付の到着率を $λ_{1}$ 、検査室の到着率を $λ_{2}$ とすると、 $λ_{1} = 4 + \frac{1}{5} λ_{2}$ 、 $λ_{2} = λ_{1}$ である。よって $λ_{1} = λ_{2} = 5$ となる。

2. 窓口 1 は M/M/1 で、 $μ_{1} = 10$ 、 $ρ_{1} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$ である。平均客数は $L_{1} = \frac{ρ _{1}}{1 - ρ _{1}} = 1$ となる。

3. 窓口 2 は M/M/2 で、 $μ = 3$ 、 $λ_{2} = 5$ である。1 人あたりの利用率は $ρ_{2} = \frac{5}{6}$ で、 $a = \frac{5}{3}$ とおく。M/M/2 の平均客数の式 $L_{2} = \frac{2 ρ}{1 - ρ ^{2}}$ に代入する。
$L_{2} = \frac{2 \cdot \frac{5}{6}}{1 - \frac{25}{36}} = \frac{5/3}{11/36} = \frac{60}{11}$ 。

検算として別の方法でも求める。 $P_{0} = [1 + a + \frac{a ^{2} /2}{1 - ρ}]^{- 1} = \frac{1}{11}$ である。待ち行列の長さは $L_{q} = P_{0} \frac{a ^{2} ρ}{2 ( 1 - ρ ) ^{2}} = \frac{125}{33}$ となる。したがって $L_{2} = L_{q} + a = \frac{125}{33} + \frac{55}{33} = \frac{60}{11}$ となり、一致する。

4. ジャクソン・ネットワークでは各窓口の定常分布が独立な積形式になる。よって系内の平均客数は $L = L_{1} + L_{2} = 1 + \frac{60}{11} = \frac{71}{11}$ である。

5. リトルの公式を使う。外部からの到着率は $4$ なので、 $W = \frac{L}{4} = \frac{71}{44}$ 時間となる。

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