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オペレーションズ・リサーチの問題

難易度 3期末試験の応用レベル大学数学オペレーションズ・リサーチ

あるコールセンターには、電話が到着率 $λ = 10$ （件/時）のポアソン過程に従ってかかってくる。オペレーター $1$ 人あたりの対応時間は、互いに独立に平均 $15$ 分の指数分布に従う。オペレーターを $c$ 人（ $c$ は正の整数）置き、かかってきた電話は $1$ 本の待ち行列に並んで、空いたオペレーターから先着順に対応される（M/M/ $c$ 待ち行列。待ち行列の長さに上限はなく、途中で電話を切る客はいない）。

定常状態が存在し、かつ定常状態での平均待ち時間（対応が始まるまでの時間の平均で、対応時間は含めない） $W_{q}$ が $3$ 分以下となるような $c$ の最小値を求めよ。

この問題で使うもの

M/M/c 待ち行列（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（86 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

まず定常状態が存在する条件 $ρ = \frac{λ}{c μ} < 1$ から $c$ の下限を出し、その値から順に $W_{q}$ を計算していく。

ヒント 2

M/M/ $c$ では $P_{0} = (\sum_{n = 0}^{c - 1} \frac{a ^{n}}{n !} + \frac{a ^{c}}{c ! ( 1 - ρ )})^{- 1}$ 、 $L_{q} = \frac{P _{0} a ^{c} ρ}{c ! ( 1 - ρ ) ^{2}}$ （ $a = λ / μ$ ）、 $W_{q} = L_{q} / λ$ を使う。単位をそろえることに注意する。

ヒント 3

$μ = 4, a = \frac{5}{2}$ で、 $c \geq 3$ が必要。 $c = 3$ では $W_{q} \approx 21$ 分、 $c = 4$ では $P_{0} = \frac{72}{977}$ 、 $L_{q} = \frac{3125}{5862}$ となる。これを分に直して $3$ 分と比べる。

答えと解説

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5

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解説を読む

時間の単位を「時」とする。対応率は $μ = \frac{60}{15} = 4$ （件/時）で、 $a = \frac{λ}{μ} = \frac{5}{2}$ 、利用率は $ρ = \frac{a}{c}$ である。

定常状態の条件. 定常状態が存在するのは $ρ < 1$ 、すなわち $c > \frac{5}{2}$ のときなので、 $c \geq 3$ が必要である。

M/M/ $c$ の公式. 空の確率 $P_{0}$ と平均待ち行列長 $L_{q}$ は
$P_{0} = (n = 0 \sum c - 1 \frac{a ^{n}}{n !} + \frac{a ^{c}}{c ! ( 1 - ρ )})^{- 1}, L_{q} = \frac{P _{0} a ^{c} ρ}{c ! ( 1 - ρ ) ^{2}}$
であり、リトルの公式より $W_{q} = \frac{L _{q}}{λ}$ である。

$\frac{a ^{n}}{n !}$ の値は $n = 0, 1, 2, 3, 4, 5$ で $1, \frac{5}{2}, \frac{25}{8}, \frac{125}{48}, \frac{625}{384}, \frac{625}{768}$ である。

$c = 3$ のとき. $ρ = \frac{5}{6}$ 。 $n = 0 \sum 2 \frac{a ^{n}}{n !} = 1 + \frac{5}{2} + \frac{25}{8} = \frac{53}{8}$ 、 $\frac{a ^{3}}{3 ! ( 1 - ρ )} = \frac{125}{48} \cdot 6 = \frac{125}{8}$ より $P_{0} = \frac{8}{178} = \frac{4}{89}$ 。
$L_{q} = \frac{4}{89} \cdot \frac{125}{48} \cdot \frac{5}{6} \cdot 36 = \frac{4}{89} \cdot \frac{625}{8} = \frac{625}{178} .$
$W_{q} = \frac{625}{1780}$ 時 $= \frac{625 \cdot 60}{1780}$ 分 $\approx 21.1$ 分で、 $3$ 分を超える。

$c = 4$ のとき. $ρ = \frac{5}{8}$ 。 $n = 0 \sum 3 \frac{a ^{n}}{n !} = \frac{48 + 120 + 150 + 125}{48} = \frac{443}{48}$ 、 $\frac{a ^{4}}{4 ! ( 1 - ρ )} = \frac{625}{384} \cdot \frac{8}{3} = \frac{625}{144}$ より
$P_{0}^{- 1} = \frac{1329}{144} + \frac{625}{144} = \frac{1954}{144} = \frac{977}{72}, P_{0} = \frac{72}{977} .$
$L_{q} = \frac{72}{977} \cdot \frac{625}{384} \cdot \frac{5/8}{( 3/8 ) ^{2}} = \frac{72}{977} \cdot \frac{625}{384} \cdot \frac{40}{9} = \frac{3125}{5862} .$
$W_{q} = \frac{3125}{58620}$ 時 $= \frac{3125}{977}$ 分 $\approx 3.20$ 分で、 $3$ 分を超える。

$c = 5$ のとき. $ρ = \frac{1}{2}$ 。 $n = 0 \sum 4 \frac{a ^{n}}{n !} = \frac{443}{48} + \frac{625}{384} = \frac{4169}{384}$ 、 $\frac{a ^{5}}{5 ! ( 1 - ρ )} = \frac{625}{768} \cdot 2 = \frac{625}{384}$ より
$P_{0}^{- 1} = \frac{4794}{384} = \frac{799}{64}, P_{0} = \frac{64}{799} .$
$L_{q} = \frac{64}{799} \cdot \frac{625}{768} \cdot \frac{1/2}{( 1/2 ) ^{2}} = \frac{64}{799} \cdot \frac{625}{384} = \frac{625}{4794} .$
$W_{q} = \frac{625}{47940}$ 時 $= \frac{625}{799}$ 分 $\approx 0.78$ 分で、 $3$ 分以下である。

$c$ を増やすと $W_{q}$ は減少するので、条件を満たす $c$ の最小値は $5$ である。

別解

$λ = 10$ 件/時、サービス率 $μ = 60/15 = 4$ 件/時/人、 $a = λ / μ = 2.5$ 。定常状態の存在条件は $ρ = a / c < 1$ すなわち $c \geq 3$ 。\n\nM/M/ $c$ の待ち確率（アーラン C 式）\n $C (c, a) = \frac{\frac{a ^{c}}{c !} \frac{1}{1 - ρ}}{\sum _{k = 0}^{c - 1} \frac{a ^{k}}{k !} + \frac{a ^{c}}{c !} \frac{1}{1 - ρ}}, W_{q} = \frac{C ( c , a )}{c μ - λ} .$ \n\n $c = 3$ : $ρ = 5/6$ 。 $\sum_{k < 3} = 1 + 2.5 + 3.125 = 6.625$ 、 $\frac{a ^{3}}{3 !} \cdot 6 = 15.625$ 。 $C = 15.625/22.25 \approx 0.7022$ 、 $W_{q} = 0.7022/2 \approx 0.351$ 時間 $\approx 21.1$ 分 $> 3$ 分。\n\n $c = 4$ : $ρ = 0.625$ 。 $\sum_{k < 4} = 6.625 + 2.6042 = 9.2292$ 、 $\frac{a ^{4}}{4 !} = 1.6276$ 、 $/0.375 = 4.3403$ 。 $C = 4.3403/13.5695 \approx 0.3199$ 、 $W_{q} = 0.3199/6 \approx 0.05331$ 時間 $\approx 3.20$ 分 $> 3$ 分。\n\n $c = 5$ : $ρ = 0.5$ 。 $\sum_{k < 5} = 9.2292 + 1.6276 = 10.8568$ 、 $\frac{a ^{5}}{5 !} = 0.8138$ 、 $/0.5 = 1.6276$ 。 $C = 1.6276/12.4844 \approx 0.1304$ 、 $W_{q} = 0.1304/10 \approx 0.01304$ 時間 $\approx 0.78$ 分 $\leq 3$ 分。\n\n $W_{q}$ は $c$ について減少するので、最小値は $c = 5$ 。（ $c = 4$ は 3.20 分でわずかに超過。）

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