オペレーションズ・リサーチの問題

ある工場に同じ型の機械が $2$ 台あり、修理係が $1$ 人いる。各機械は、動いている間、故障率 $\frac{1}{2}$（回/日）で互いに独立に故障する。つまり、動いている時間は平均 $2$ 日の指数分布に従う。故障した機械は修理係が $1$ 台ずつ修理する。修理時間は平均 $\frac{1}{2}$ 日の指数分布に従う（修理率 $2$（台/日））。修理中でない故障機械は待つ。

時刻 $t$ に故障している機械の台数を $X(t)$ とする。$X(t)$ は状態 $0,1,2$ をとる出生死滅過程である。状態 $n$ からの「出生率」（故障が起こる率）は ${\lambda }_n=(2-n)\cdot \frac{1}{2}$、「死滅率」（修理が終わる率）は ${\mu }_n=2(n=1,2)$ である。

十分長い時間がたった後（定常状態）に、$2$ 台とも故障している確率 $p_2$ を求めよ。

駐車スペースが $3$ 台分だけある小さな駐車場がある。時刻 $t$ に駐車している車の台数を $X(t)$ とし、$X(t)$ は状態 $0,1,2,3$ をとる出生死滅過程であるとする。推移率は次のとおりである。

• 到着率：$n=0,1,2$ のとき ${\lambda }_n=2$（台/時）。満車（$n=3$）のときは到着した車は入らずに去るので ${\lambda }_3=0$。
• 退去率：$n=1,2,3$ のとき ${\mu }_n=n$（台/時）。これは、駐車している各車が平均 $1$ 時間の指数分布に従う時間で互いに独立に出ていくことを表す。

定常状態で駐車場が満車である確率 $p_3$ を求めよ。

あるセルフ洗車場には洗車機が $2$ 台ある。車は到着率 $\lambda =6$（台/時）のポアソン過程に従って到着する。車は $1$ 列に並び、空いた洗車機から先着順に使う。$1$ 台あたりの洗車時間は、互いに独立に平均 $10$ 分の指数分布に従う。この系を M/M/2 待ち行列とみなすとき、定常状態における車 $1$ 台あたりの平均系内滞在時間 $W$（待ち時間と洗車時間の合計の平均）は何分か。

ある図書館には自動貸出機が $2$ 台ある。利用者は到着率 $\lambda =8$（人/時）のポアソン過程に従って到着する。利用者は $1$ 列に並び、空いた貸出機から先着順に使う。$1$ 人あたりの利用時間は、互いに独立に平均 $12$ 分（すなわちサービス率 $\mu =5$（人/時））の指数分布に従う。この待ち行列を M/M/2 とみなし、定常状態における利用者 $1$ 人あたりの平均系内滞在時間 $W$（並んで待つ時間と貸出機を使う時間の和の平均）を、時間を単位として求めよ。

あるコーヒースタンドには店員が $1$ 人だけいて、客を $1$ 列に並ばせ、先着順に $1$ 人ずつ注文を受けて商品を渡す。客は到着率 $\lambda =12$（人/時）のポアソン過程に従って到着し、$1$ 人あたりのサービス時間は互いに独立に平均 $4$ 分の指数分布に従う。待ち行列の長さに上限はなく、到着した客は必ず列に並ぶものとする。この系を M/M/1 待ち行列とみなすとき、定常状態において、客がサービスを受け始めるまでに列で待つ時間の平均 $W_q$ は何分か。