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オペレーションズ・リサーチの問題

難易度 1教科書の例題レベル大学数学オペレーションズ・リサーチ

あるセルフ洗車場には洗車機が $2$ 台ある。車は到着率 $λ = 6$ （台/時）のポアソン過程に従って到着する。車は $1$ 列に並び、空いた洗車機から先着順に使う。 $1$ 台あたりの洗車時間は、互いに独立に平均 $10$ 分の指数分布に従う。この系を M/M/2 待ち行列とみなすとき、定常状態における車 $1$ 台あたりの平均系内滞在時間 $W$ （待ち時間と洗車時間の合計の平均）は何分か。

この問題で使うもの

M/M/c 待ち行列（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（86 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

M/M/c 待ち行列（ $c = 2$ ）の公式を使います。まず $μ$ （台/時）、 $a = λ / μ$ 、利用率 $ρ = λ / (c μ)$ を求めましょう。

ヒント 2

$p_{0} = [\sum_{n = 0}^{c - 1} \frac{a ^{n}}{n !} + \frac{a ^{c}}{c ! ( 1 - ρ )}]^{- 1}$ 、待つ確率 $\frac{a ^{c}}{c ! ( 1 - ρ )} p_{0}$ 、 $L_{q} = (待つ確率) \cdot \frac{ρ}{1 - ρ}$ 、 $W_{q} = L_{q} / λ$ 、 $W = W_{q} + \frac{1}{μ}$ を順に使います。

ヒント 3

$μ = 6$ , $a = 1$ , $ρ = \frac{1}{2}$ から $p_{0} = \frac{1}{3}$ 、待つ確率は $\frac{1}{3}$ 、 $L_{q} = \frac{1}{3}$ となります。あとはリトルの公式で $W_{q}$ を求め、 $\frac{1}{μ}$ を足して分に換算します。

答えと解説

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\frac{40}{3}

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解説を読む

手順 1：パラメータを求める。 洗車時間の平均は $10$ 分 $= \frac{1}{6}$ 時間なので、サービス率は $μ = 6$ （台/時）です。窓口数は $c = 2$ です。
$a = \frac{λ}{μ} = 1, ρ = \frac{λ}{c μ} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2} < 1$
なので定常状態が存在します。

手順 2：定常確率 $p_{0}$ を求める。 M/M/c の公式
$p_{0} = [n = 0 \sum c - 1 \frac{a ^{n}}{n !} + \frac{a ^{c}}{c ! ( 1 - ρ )}]^{- 1}$
に $c = 2, a = 1, ρ = \frac{1}{2}$ を代入すると
$p_{0} = [1 + 1 + \frac{1}{2 \cdot \frac{1}{2}}]^{- 1} = \frac{1}{3} .$

手順 3：待つ確率を求める。 到着した車が待たされる確率（ $2$ 台とも使用中の確率）は
$P (wait) = \frac{a ^{c}}{c ! ( 1 - ρ )} p_{0} = \frac{1}{2 \cdot \frac{1}{2}} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{3} .$

手順 4： $L_{q}$ を求める。
$L_{q} = P (wait) \cdot \frac{ρ}{1 - ρ} = \frac{1}{3} \cdot \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}} = \frac{1}{3} (台) .$

手順 5：リトルの公式で $W_{q}$ 、さらに $W$ を求める。
$W_{q} = \frac{L _{q}}{λ} = \frac{1/3}{6} = \frac{1}{18} (時間),$
$W = W_{q} + \frac{1}{μ} = \frac{1}{18} + \frac{1}{6} = \frac{4}{18} = \frac{2}{9} (時間) .$
分に直すと $\frac{2}{9} \times 60 = \frac{40}{3}$ 分です。

（参考：平均待ち時間は $\frac{10}{3}$ 分、洗車時間の平均が $10$ 分なので合計 $\frac{40}{3}$ 分。）

答え： $\frac{40}{3}$ 分

別解

到着率 $λ = 6$ 台/時、サービス率 $μ = 6$ 台/時（平均 10 分）、サーバー数 $c = 2$ とする。

$a = λ / μ = 1$ 、 $ρ = a / c = 1/2$ 。

定常分布は $p_{0}$ を用いて次のように表せる。
$p_{0} = [\sum_{k = 0}^{1} \frac{a ^{k}}{k !} + \frac{a ^{2}}{2 ! ( 1 - ρ )}]^{- 1} = [1 + 1 + \frac{1}{2 \cdot \frac{1}{2}}]^{- 1} = \frac{1}{3}$

待ち行列長は次のとおり。
$L_{q} = \frac{p _{0} a ^{c} ρ}{c ! ( 1 - ρ ) ^{2}} = \frac{\frac{1}{3} \cdot 1 \cdot \frac{1}{2}}{2 \cdot \frac{1}{4}} = \frac{1/6}{1/2} = \frac{1}{3}$

リトルの公式より $W_{q} = L_{q} / λ = \frac{1}{3 \cdot 6} = \frac{1}{18}$ 時間 $= \frac{10}{3}$ 分。

$W = W_{q} + 1/ μ = \frac{10}{3} + 10 = \frac{40}{3}$ 分。

検算：M/M/2 の公式 $L = \frac{2 ρ}{1 - ρ ^{2}} = \frac{1}{3/4} = \frac{4}{3}$ なので、 $W = L / λ = \frac{4}{3 \cdot 6} = \frac{2}{9}$ 時間 $= \frac{40}{3}$ 分。一致する。

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